Блок, прикрепленный к пружине, колеблется на поверхности с трением

Question

Блок, прикрепленный к пружине, колеблется на поверхности с трением

Свидание со свободой

Рассмотрим блок массы $m$ движется с начальной скоростью $v_o$ прикреплен к пружине с упругой жесткостью $k$ , на местности с коэффициентом кинетического трения $\eta$ и коэффициент статического трения $\epsilon$ . Найдите время, за которое колебания затухнут.

Если мы напишем уравнение силы блока, когда он движется вправо, мы получим:

м а "=" - к Икс - η м г

$ma = -kx - \eta mg$

Или,

а "=" - \frac{к}{м} Икс - η г

$a = -\frac{k}{m} x - \eta g$

Для сдвинутого гармонического осциллятора формы:

\begin{matrix} (1) & Икс (т) "=" А потому что (ю т + ф) + {Икс}_{0} \end{matrix}

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi) + x_0 \tag{1}$

\ddot{Икс} "=" - ю^{2} (Икс (т) - {Икс}_{0})

$\ddot{x} = -\omega^2 ( x(t) - x_0)$

Сравнивая с предыдущим уравнением,

- η г "=" - ю^{2} {Икс}_{0}

$- \eta g = - \omega^2 x_0$

Следовательно,

\begin{matrix} (2) & \frac{η г}{ю^{2}} "=" {Икс}_{0} \end{matrix}

$\frac{ \eta g}{\omega^2} = x_0 \tag{2}$

По основному уравнению пружин

\begin{matrix} (3) & ю^{2} "=" \sqrt{\frac{к}{м}} \end{matrix}

$\omega^2 = \sqrt{\frac{k}{m}} \tag{3}$

Объединение 1,2,3:

Икс "=" А потому что (\frac{к}{м} т + ф) + \frac{м η г}{к}

$x = A \cos( \frac{k}{m} t + \phi) + \frac{m \eta g}{k}$

Теперь странная часть:

Это предполагает, что колебание будет продолжаться вечно! Однако хорошо известно, что трение является диссипативной силой и удаляет энергию из системы, поэтому, если энергия удаляется из системы в каждом цикле, почему уравнение этого не показывает?

Возможные решения

Глубоко размышляя над проблемой, я понял, что мое дифференциальное уравнение нарушается всякий раз, когда скорость блока падает до нуля, потому что тогда внезапно статическое трение заменяет кинетическое трение. Я думаю, что этот внезапный сдвиг не должен вызвать слишком много проблем, но я не уверен. Как вы справляетесь с внезапным сдвигом дифференциального уравнения движения? Или это какая-то другая проблема, которая вызвала этот странный результат, который я получил?

В основном я ищу ответ, в котором обсуждаются нарушения уравнения, управляющего движением, когда v падает до нуля и знак трения

Обновление: я нашел статью, в которой это обсуждается, позже могу написать ответ на ее основе (см. здесь)

Дэвид Уайт

Ваше окончательное уравнение не похоже на затухающее гармоническое движение. Дополнительную информацию см. на странице hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/oscda.html .

ФГСУЗ

Ваша проблема в том, что уравнение силы

m a = - k (x - x_{0}) - η m g

$ma=-k(x-x_0)-\eta mg$ . Таким образом, термин

η g

$\eta g$ новый и сравнить не с чем. Это дополнительный элемент, который изменит вашу динамику.

Свидание со свободой

Немного манипулируя им, он выглядит так же, в чем проблема?

Свидание со свободой

Даже если это не затухающий осциллятор, трение не рассеивает энергию @DavidWhite

Дэвид Уайт

@Buraian, да, трение рассеивает энергию. Это означает, что амплитуда следует экспоненциальной функции с отрицательным показателем, как указано в статье о гиперфизике.

Свидание со свободой

Хорошо, это круто, но здесь мое трение постоянно (за исключением случаев, когда движение проходит через точку с нулевой скоростью), поэтому я думаю, что мы можем использовать смещенный осциллятор вместо затухающего осциллятора. Кроме того, я не думаю, что в этом уравнении есть какой-либо эквивалент трения.

Свидание со свободой

Я думаю, что у меня есть проблема, но я не уверен, как ее исправить ... это то, что трение продолжает менять знак в зависимости от знака скорости, но я не уверен, как это учитывать в diff eqn

Филип

@Buraian Ты прав. Если я правильно понимаю, то лучше всего решить ее в каждом режиме отдельно, а затем сопоставить решения.

Свидание со свободой

Глобального решения нет? @Филип

Филип

Нет, я не это имел в виду, я имею в виду, что вы пишете отдельные дифференциальные уравнения для каждого пути — одно, когда блок движется (скажем) влево, и одно, когда он движется вправо, — а затем вы утверждаете, что константы в этих решениях должно совпадать, когда

v = 0

$v=0$ , и это дает вам полное решение. Это была задача, поставленная профессионалом, которого я некоторое время назад изучал, и я смутно помню, как решал ее таким образом. Не уверен, что это единственный способ.

Свидание со свободой

О, спасибо, это имеет смысл. В основном я ищу ответ, в котором обсуждаются нарушения уравнения, управляющего движением, когда v падает до нуля и знак трения

Химиомеханика

Подобный вопрос был недавно задан, но, к сожалению, не получил ответа.

ДЖЭБ

Решение этой проблемы можно найти в Интернете, и в нем упоминается: аналитическое решение сложно. Более того, существуют разные области действия в зависимости от этой начальной позиции (например, она может вообще не двигаться). Ключевым моментом является использование энергетических соображений, чтобы показать, что уменьшение амплитуды является линейным, а не экспоненциальным, то есть: оно теряет одну и ту же абсолютную (не относительную) амплитуду за одно колебание.

Свидание со свободой

Не могли бы вы поделиться ссылкой, где вы нашли решение этой проблемы?

ДЖЭБ

кто-то должен напечатать это, это хорошая задача: Projects.ncsu.edu/per/Articles/MarchewkaAbbott&Beichner.pdf

Свидание со свободой

Вау, спасибо, я не думаю, что когда-либо нашел бы это самостоятельно

Ответы (1)

Блок, прикрепленный к пружине, колеблется на поверхности с трением

Ваше окончательное уравнение не похоже на затухающее гармоническое движение. Дополнительную информацию см. на странице hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/oscda.html .
Ваша проблема в том, что уравнение силы $ma=-k(x-x_0)-\eta mg$ . Таким образом, термин $\eta g$ новый и сравнить не с чем. Это дополнительный элемент, который изменит вашу динамику.
Немного манипулируя им, он выглядит так же, в чем проблема?
Даже если это не затухающий осциллятор, трение не рассеивает энергию @DavidWhite
@Buraian, да, трение рассеивает энергию. Это означает, что амплитуда следует экспоненциальной функции с отрицательным показателем, как указано в статье о гиперфизике.
Хорошо, это круто, но здесь мое трение постоянно (за исключением случаев, когда движение проходит через точку с нулевой скоростью), поэтому я думаю, что мы можем использовать смещенный осциллятор вместо затухающего осциллятора. Кроме того, я не думаю, что в этом уравнении есть какой-либо эквивалент трения.
Я думаю, что у меня есть проблема, но я не уверен, как ее исправить ... это то, что трение продолжает менять знак в зависимости от знака скорости, но я не уверен, как это учитывать в diff eqn
@Buraian Ты прав. Если я правильно понимаю, то лучше всего решить ее в каждом режиме отдельно, а затем сопоставить решения.
Нет, я не это имел в виду, я имею в виду, что вы пишете отдельные дифференциальные уравнения для каждого пути — одно, когда блок движется (скажем) влево, и одно, когда он движется вправо, — а затем вы утверждаете, что константы в этих решениях должно совпадать, когда $v=0$ , и это дает вам полное решение. Это была задача, поставленная профессионалом, которого я некоторое время назад изучал, и я смутно помню, как решал ее таким образом. Не уверен, что это единственный способ.
О, спасибо, это имеет смысл. В основном я ищу ответ, в котором обсуждаются нарушения уравнения, управляющего движением, когда v падает до нуля и знак трения
Подобный вопрос был недавно задан, но, к сожалению, не получил ответа.
Решение этой проблемы можно найти в Интернете, и в нем упоминается: аналитическое решение сложно. Более того, существуют разные области действия в зависимости от этой начальной позиции (например, она может вообще не двигаться). Ключевым моментом является использование энергетических соображений, чтобы показать, что уменьшение амплитуды является линейным, а не экспоненциальным, то есть: оно теряет одну и ту же абсолютную (не относительную) амплитуду за одно колебание.
Не могли бы вы поделиться ссылкой, где вы нашли решение этой проблемы?
кто-то должен напечатать это, это хорошая задача: Projects.ncsu.edu/per/Articles/MarchewkaAbbott&Beichner.pdf
Вау, спасибо, я не думаю, что когда-либо нашел бы это самостоятельно

Дол · Answer 1

Или это какая-то другая проблема, которая вызвала этот странный результат, который я получил?

Проблема в том, что ваша сила «трения», $\eta m g$ , всегда указывает на минус $x$ направление. Оно не ведет себя как трение, которое всегда направлено в противоположном направлении. $v$ .

В основном я ищу ответ, в котором обсуждаются нарушения уравнения, управляющего движением, когда v падает до нуля и знак трения

Проблема не в этом. Однако такие эффекты, безусловно, можно включить. Обычно такой закон силы не имеет аналитического решения, и вам придется полагаться на численные методы.

Блок, прикрепленный к пружине, колеблется на поверхности с трением

Свидание со свободой

Возможные решения

Дэвид Уайт

ФГСУЗ

Свидание со свободой

Свидание со свободой

Дэвид Уайт

Свидание со свободой

Свидание со свободой

Филип

Свидание со свободой

Филип

Свидание со свободой

Химиомеханика

ДЖЭБ

Свидание со свободой

ДЖЭБ

Свидание со свободой

Ответы (1)

Дол

Простое гармоническое движение массы, прикрепленной к вертикальной пружине

Каково значение зажима центра пружины?

Общее решение системы массовых пружин

Пружинно-массовая система со сложной жесткостью пружины

Эффективная масса в системе Spring-with-mass/mass

Нахождение коэффициента трения

Пружина-масса-маятник "по законам Ньютона"

Понимание поперечных колебаний в системах с 1 массой и 2 пружинами

Коэффициент демпфирования и коэффициент демпфирования [дубликат]

Экспериментальный результат не может быть объяснен теорией для системы масс 2 Spring 1