Простое гармоническое движение массы, прикрепленной к вертикальной пружине

Question

Простое гармоническое движение массы, прикрепленной к вертикальной пружине

Боуг_Мания

Итак, я рассматривал случай, когда у нас есть объект массы $m$ прикреплен к пружине с упругой жесткостью $k$ . Пружина крепится к потолку. Я работал над уравнением движения для высвобождения массы в точке, где пружина расслабляется в случае, когда груз не прикреплен.

Определив начальную точку как $y=0$ и приняв вверх как позитивное направление, которое я смог получить,

м у^{″} "=" - к у - м г ⟹ у^{″} + ю^{2} у "=" - г

$my''=-ky-mg \implies y''+\omega^2y=-g$

Здесь $\omega^2=\frac{k}{m}$ . Это приводит к решению

у (т) "=" \frac{г}{ю^{2}} [с о с (ю т) - 1]

$y(t)=\frac{g}{\omega^2}[cos(\omega t)-1]$

Если предположить, что это правда, объект будет колебаться с той же амплитудой в течение неопределенного периода времени. Интуитивно я бы подумал, что гравитация будет действовать как демпфирующая сила, заставляющая колебания затухать, но, похоже, это не так. Имеет ли смысл, что объект в этом случае будет колебаться вечно?

Джордан Эбботт

Я не согласен с вашим решением для

y (t)

$y(t)$ (Я получил

y (t) = e^{i ω^{2} t} - \frac{g}{ω^{2}}

$y(t)=e^{i\omega^2 t}-\frac{g}{\omega^2}$ )

Боуг_Мания

Хорошо, мне нужно будет вернуться, чтобы проверить свою работу. Спасибо.

ZeroTheHero

Определите сдвинутую переменную

Y = ω^{2} y + g

$Y=\omega^2 y+ g$ и найти EOM для

Y

$Y$ ...

КАФ

@Ian B. Отсутствие

g

$g$ в вашем уравнении для

y (t)

$y(t)$ просто опечатка? также должен быть относительный знак между двумя действующими силами (иначе равновесная длина может не существовать)

Боуг_Мания

Да, это. Спасибо, что указали на это. Что касается знака, я предположил, что оба будут иметь отрицательный знак. Если вверх положительно, то

F_{g} = - m g

$F_g=-mg$ но сделать усилие пружины положительным при отрицательных значениях

y

$y$ и отрицательный для положительных значений, тогда я решил, что это должно быть

F_{s} = - k y

$F_s = -ky$ с

k > 0

$k>0$ .

КАФ

@ Ян Б. Да, ты прав. В вашем случае равновесная длина - это где

y = - m g / k

$y=-mg/k$ , если вверх положительный.

пользователь137289

Гравитация консервативна.

Ответы (2)

Простое гармоническое движение массы, прикрепленной к вертикальной пружине

Я не согласен с вашим решением для $y(t)$ (Я получил $y(t)=e^{i\omega^2 t}-\frac{g}{\omega^2}$ )
Хорошо, мне нужно будет вернуться, чтобы проверить свою работу. Спасибо.
Определите сдвинутую переменную $Y=\omega^2 y+ g$ и найти EOM для $Y$ ...
@Ian B. Отсутствие $g$ в вашем уравнении для $y(t)$ просто опечатка? также должен быть относительный знак между двумя действующими силами (иначе равновесная длина может не существовать)
Да, это. Спасибо, что указали на это. Что касается знака, я предположил, что оба будут иметь отрицательный знак. Если вверх положительно, то $F_g=-mg$ но сделать усилие пружины положительным при отрицательных значениях $y$ и отрицательный для положительных значений, тогда я решил, что это должно быть $F_s = -ky$ с $k>0$ .
@ Ян Б. Да, ты прав. В вашем случае равновесная длина - это где $y=-mg/k$ , если вверх положительный.

КАФ · Answer 1

В вашем уравнении $y$ является продолжением расслабленной или естественной длины пружины. Если вместо этого вы измерите удлинение пружины от ее равновесной длины $y_e$ (где результирующая сила, действующая на массу, равна нулю), вы найдете ту же форму уравнения для горизонтальной массы на пружинной установке.

- к у - м г "=" м \ddot{у} "=" - к (у + \frac{м г}{к}) "=" - к (у - у_{е})

$-ky - mg = m\ddot y = -k \left( y + \frac{mg}{k} \right) = -k(y-y_e)$

Теперь пусть $Y = y-y_e = y+mg/k = y+g/\omega^2$ и в этой сдвинутой переменной вы получаете

\ddot{Д} "=" - ю^{2} Д .

$\ddot Y = -\omega^2Y.$

Такого результата следует ожидать, потому что, как отмечено в другом ответе, гравитация является недиссипативной силой, она консервативна и как таковая не выполняет никакой чистой работы в системе.

Например, для затухающих во времени колебаний неоднородная движущая сила, зависящая от времени, схематично выглядела бы как $y(t)$ получено в другом ответе, так что для достаточно больших $t$ , пружина покоится на своей равновесной длине $y_e=-g/\omega^2$ .

Джон Алексиу · Answer 2

Решение не имеет демпфирующих членов. Затухающие колебания будут иметь вид

у^{″} + 2 ζ ю_{н} у^{'} + ю_{н}^{2} у + г "=" 0

$y'' +2 \zeta \omega_n y' + \omega_n^2 y + g =0$

_{Где $k = m \omega_n^2$ и $c = 2 \zeta m \omega_n$ - коэффициенты жесткости и демпфирования соответственно.}

с раствором

\begin{aligned} у (т) & "=" С + опыт (- β т) (А грех (ю т) + Б грех (ю т)) \\ β & "=" ю_{н} ζ \\ ю & "=" ю_{н} \sqrt{1 - ζ^{2}} \\ С & "=" - \frac{г}{ю_{н}^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} y(t) & = C + \exp(-\beta t) \left( A \sin (\omega t)+B \sin (\omega t) \right) \\ \beta & = \omega_n \zeta \\ \omega & = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2} \\ C & = -\frac{g}{\omega_n^2} \end{aligned}$

и коэффициенты $A$ и $B$ в зависимости от начальных условий.

Простое гармоническое движение массы, прикрепленной к вертикальной пружине

Боуг_Мания

Джордан Эбботт

Боуг_Мания

ZeroTheHero

КАФ

Боуг_Мания

КАФ

пользователь137289

Ответы (2)

КАФ

Джон Алексиу

Блок, прикрепленный к пружине, колеблется на поверхности с трением

Каково значение зажима центра пружины?

Общее решение системы массовых пружин

Пружинно-массовая система со сложной жесткостью пружины

Эффективная масса в системе Spring-with-mass/mass

Нахождение коэффициента трения

Пружина-масса-маятник "по законам Ньютона"

Понимание поперечных колебаний в системах с 1 массой и 2 пружинами

Коэффициент демпфирования и коэффициент демпфирования [дубликат]

Экспериментальный результат не может быть объяснен теорией для системы масс 2 Spring 1