Обсуждение замедления времени SR бессмысленно, когда есть гравитация?

$\let\g=\gamma \let\d=\delta \let\De=\Delta \def\rA{{\rm A}} \def\rB{{\rm B}} \def\rC{{\rm C}} \def\rD{{\rm D}} \def\rE{{\rm E}} \def\rF{{\rm F}} \def\rG{{\rm G}} \def\rU{{\rm U}} \def\tA{t_\rA} \def\tB{t_\rB} \def\tC{t_\rC} \def\tD{t_\rD} \def\tE{t_\rE} \def\tF{t_\rF} \def\tG{t_\rG} \def\xA{x_\rA} \def\xB{x_\rB} \def\xC{x_\rC} \def\xD{x_\rD} \def\xE{x_\rE} \def\xF{x_\rF} \def\xG{x_\rG} \def\tauA{\tau_\rA^\phz} \def\tauB{\tau_\rB^\phz} \def\tauC{\tau_\rC^\phz} \def\tauD{\tau_\rD^\phz} \def\tauE{\tau_\rE^\phz} \def\tauF{\tau_\rF^\phz} \def\tauG{\tau_\rG^\phz} \def\phz{{\phantom0}} \def\cH{{\cal H}} \def\cS{{\cal S}} \def\dt{\d t} \def\Dt{\De t} \def\D#1#2{{d#1\over d#2}}$Я думаю, что вопрос не должен быть закрыт, оставляя последнее слово за ошибочным ответом. До сих пор я видел только слова и никаких уравнений, но физика ИМО без чисел и уравнений - это просто болтовня. Я хочу заполнить пробел, предоставив решение, как полное, так и стандартное - можно сказать, домашнее задание. Кто не согласен, прошу показать, что не так в моем ответе.

Мы находимся в плоском пространстве-времени. Никаких звезд, планет, галактик поблизости. Другими словами, в игру вступает только SR. С космической станции$\cS$космический корабль$\cH$запускается, что на время$\dt$движется с постоянным собственным ускорением$a$(гиперболическое движение), пока не достигнет крейсерской скорости$v$(относительно$\cS$). Фаза круиза следует, когда$\cH$сохраняет свою скорость постоянной некоторое время$\Dt$(по меркам$\cS$часы). Сейчас$\cH$ускоряется назад (при правильном ускорении$-a$) в течение времени$2\,\dt$, тем самым достигая скорости$-v$. Обратный путь начинается, длится$\Dt$.$\cH$Миссия заканчивается фазой торможения: ускорение$a$, продолжительность$\dt$. В этот момент$\cH$все еще рядом$\cS$.

Общее время в пути, измеряемое$\cS$, является$2\,\Dt+4\,\dt$. Сколько длилось путешествие по часам космического корабля?

---

События

Отмечу 7 примечательных событий:

• А: начало$\cH$
• B: конец ускорения
• C: конец крейсерской фазы - начинается встречное ускорение
• D: достигнуто максимальное расстояние от начальной точки
• E: обратный путь начинается
• F: конец обратного пути - начинается фаза торможения
• G: конец торможения и остановка.

Используется только одна инерциальная система отсчета:$\cS$кадр покоя с координатами$(t,x)$. Вся миссия происходит в$x\ge0$. Каждое событие, скажем$U$, имеет свои координаты$t_\rU,x_\rU$. Истоки времени и пространства зафиксированы в$\rA$, так что$\tA=0$,$\xA=0$. Мы уже знаем все$t$-координаты:

$$\eqalign{ \tB &= \dt \cr \tC &= \dt + \Dt \cr \tD &= 2\,\dt + \Dt \cr \tE &= 3\,\dt + \Dt \cr \tF &= 3\,\dt + 2\,\Dt \cr \tG &= 4\,\dt + 2\,\Dt.\cr}$$ $x$-координаты вместо этого должны быть вычислены, но$\xB$,$\xC$будет достаточно, так как остальные следуют по симметрии. То же самое относится и к собственному времени. Я только исправлю правильное время, установив$\tauA=0$.

---

The $\rB$-событие

Уравнения гиперболического движения

$$\eqalign{ \tB &= t_0\,\sinh {\tauB \over t_0}\cr \xB &= x_0 \left(\cosh {\tauB \over t_0} - 1\right) \cr} \tag1$$ где $$t_0 = {c \over a} \qquad x_0 = c\,t_0 = {c^2 \over a}.$$ Путем устранения$\tauB$в уравнениях (1) $$\xB = c\,\sqrt{t_0^2 + \tB^2} - x_0 = c\,\sqrt{t_0^2 + \dt^2} - x_0 \tag2$$ и из (1) $$\tauB = t_0 \sinh^{-1} {\tB \over t_0} = t_0 \sinh^{-1} {\dt \over t_0}.\tag3$$

---

The $\rC$-событие

Из (2) и из определения$v$

$$v = \D{\xB}{\tB} = {c\,\tB \over \sqrt{t_0^2 + \tB^2}} = {c\,\dt \over \sqrt{t_0^2 + \dt^2}}$$ $$\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}} = {t_0 \over \sqrt{t_0^2 + \dt^2}}$$ $$\xC - \xB = v\,\Dt$$ $$\tauC - \tauB = \Dt\,\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}} = {t_0\,\Dt \over \sqrt{t_0^2 + \dt^2}}.\tag4$$

---

Ответ и обсуждение

Запрошено общее собственное время, т.е.

$$\tauG = 4\,\tauB + 2\,(\tauC - \tauB) = 4\,t_0 \sinh^{-1} {\dt \over t_0} + {2\,\Dt \over \sqrt{1 + (\dt/t_0)^2}}.$$ (использовались уравнения (3), (4)). Для сравнения с$2\,\Dt+4\,\dt$.

Оставим фиксированными параметры фазы разгона:$a$,$\dt$а потом$v$. Видно, что при увеличении$\Dt$разница между обоими временами растет как угодно, т.е. эффект близнецов пропорционален продолжительности путешествия, тогда как фазы ускорения дают постоянный вклад.

Вы правы, говоря, что парадокс близнецов разрешим с помощью гравитационного замедления времени.

Ошибочно думать, что близнецы стареют по-разному только потому, что они движутся с постоянной скоростью относительно друг друга. Теперь скорость симметрично относительна, что означает, что оба близнеца могут сказать, что другой двигается по сравнению с ними, поэтому они должны стареть меньше. Близнец на Земле мог бы сказать, что другой близнец движется относительно него, а близнец на космическом корабле мог бы сказать, что близнец на Земле движется относительно него, так что оба могли бы сказать, что другой должен стареть меньше.

Решение — гравитационное замедление времени. Это потому, что ускорение абсолютно во Вселенной. Близнец в космическом корабле движется с постоянной скоростью, поэтому если близнецы стареют по-разному, до точки возвращения. В точке возврата космический корабль должен замедлиться и ускориться, то есть развернуться. Теперь вы правы, полагая, что по принципу эквивалентности это то же самое, что и эффекты гравитации, замедляющие космический корабль во временном измерении.

Ничего не происходит до точки возврата, потому что космический корабль движется с постоянной скоростью и оба близнеца стареют одинаково. Теперь в точке возврата космический корабль ускоряется, и это имеет тот же эффект, что и гравитация, и космический корабль замедляется во временном измерении. Объект с массой покоя (например, космический корабль) движется во времени со скоростью с, а в пространстве со скоростью меньше с.

Теперь, когда космический корабль разворачивается, он ускоряется, и это заставляет его замедляться во временном измерении. Вселенная устроена так, и вектор 4 построен так, что величина вектора 4 должна быть с. Теперь, если космический корабль ускоряется, его пространственная скорость изменяется, поэтому в пространственных измерениях его скорость изменяется, но величина четырехвектора должна оставаться c. Чтобы компенсировать это, космический корабль будет замедляться во временном измерении, а это означает, что близнец на космическом корабле будет стареть медленнее, чем близнец на Земле. Это только на период обращения, когда космический корабль развернется и снова начнет двигаться с постоянной скоростью к Земле, близнецы снова будут стареть одинаково.

Но был период, на рубеже, когда они старели по-разному, и сейчас эта разница есть. Близнец в космическом корабле стареет медленнее, чем близнец на Земле. Поэтому, когда они снова встретятся на Земле, они увидят, что близнец в космическом корабле моложе. Теперь между ними есть расстояние во временном измерении, и оно остается таким (пока ни один из них не ускоряется).

Но это верно только в том случае, если мы пренебрегаем разницей между гравитационными потенциалами в области пространства, где движется космический корабль, и потенциалом Земли. Вы правы в том, что разница между гравитационным потенциалом там, где находится космический корабль, и на Земле тоже повлияет на то, как будут стареть два близнеца.