Как оператор применяется к волновой функции в квантовой механике? [закрыто]

Это то же самое, что матричная математика. В общем, квантовая механика — это линейная алгебра в забавных шляпах.

То есть, предположим, я хочу вычислить$\frac 12 \langle \hat X \hat P + \hat P \hat X\rangle,$ближайший эрмитиан, наблюдаемый на данный момент$\langle x p \rangle$в классической механике. Отношение, которое$[\hat X, \hat P] = i\hbar$обычно подразумевается, что в основе положения,$\hat X = (x\cdot)$пока$\hat P = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x},$поэтому первая часть этого интеграла:

1. Да, ОП прав: мы понимаем состав операторов.$\hat{A}$и$\hat{B}$как

   $$(\hat{A}\circ \hat{B})(v)~:=~ \hat{A}(\hat{B}(v)), \tag{A}$$ где$v$является вектором. Обратите внимание, что символ композиции "$\circ$"и скобки"$()$" часто не пишутся явно. Это согласуется с уравнениями OP (1) и (2). Пока все хорошо.

2. Все становится на удивление запутанным, когда мы реализуем это правило (А) в нотации Дирака . Затем мы определяем

   $$\psi(x)~:=~\langle x | \psi \rangle ~=~| x \rangle^{\dagger}| \psi \rangle, \tag{B}$$ $$(\hat{A} (\psi))(x)~:=~ \langle x |\hat{A}| \psi \rangle ~=~\left(\hat{A}^{\dagger}| x \rangle\right)^{\dagger}| \psi \rangle, \tag{C}$$ $$((\hat{A}\circ \hat{B})(\psi))(x) ~:=~ \langle x |(\hat{A}\circ \hat{B})| \psi \rangle ~=~\left((\hat{B}^{\dagger}\circ \hat{A}^{\dagger})| x \rangle\right)^{\dagger}| \psi \rangle, \tag{D}$$ и так далее. Здесь$|x\rangle$обозначает положение кет-состояния с собственным значением$x$, $$\hat{x}|x\rangle ~=~x |x\rangle. \tag{E}$$

3. Предположим для простоты, что операторы$\hat{A}$,$\hat{B}$и т. д. являются самосопряженными. Если вы никогда не видели lhs. экв. (D) раньше можно было опасаться, что операторы$\hat{A}$и$\hat{B}$кажется, составлены в неправильном порядке! Получается, что в итоге все-таки получается правильно. См., например, следующий пример.

4. Пример: Соглашение (A) подразумевает, что

   $$\hat{p}\circ \hat{x}|x\rangle ~\stackrel{(A)+(E)}{=}~x \hat{p}|x\rangle \tag{F},$$ потому что$\hat{p}$является линейным оператором. Поэтому мы вычисляем $$((\hat{x}\circ \hat{p})(\psi))(x) ~\stackrel{(D)}{=}~\left((\hat{p}\circ \hat{x})| x \rangle\right)^{\dagger}| \psi \rangle ~\stackrel{(F)}{=}~x\left(\hat{p}| x \rangle\right)^{\dagger}| \psi \rangle ~\stackrel{(C)}{=}~x(\hat{p}( \psi))(x),$$ как и должно быть. См. также мой связанный с Phys.SE ответ здесь .