Гамильтонианы, операторы рождения/уничтожения, рекурсия

Ниже приводится некоторая преамбула для мотивации, которую можно пропустить; вопрос будет поставлен в конце.

Недавно я начал изучать операторы создания и уничтожения. а ^ † и а ^ в курсе QM, который я посещаю, они были представлены как удовлетворяющие

ЧАС ^ "=" а ^ а ^ † γ + ζ ,
для γ , ζ е С . В ходе курса нам изначально дали для работы конкретный гамильтониан (отдельная частица в бесконечной квадратной потенциальной яме), и мы вывели формы для а ^ † и а ^ на основе этой точной формы гамильтониана.

Мне пришло в голову, что мы фактически рассматривали гамильтониан как многочлен от нескольких переменных. С с наблюдаемыми операторами в качестве переменных, например

ЧАС ^ "=" п ^ 2 2 м + В ^ ( Икс ^ ) "=" 1 2 м п ^ 2 + м ю 2 2 Икс ^ 2 ,
затем с помощью алгоритма евклидова деления, чтобы использовать тот факт, что кольца многочленов являются евклидовыми областями, для формирования наибольшего общего делителя ЧАС ^ и а ^ † а ^ , где
а ^ "=" м ю 2 ℏ Икс ^ + я 1 2 ℏ м ю п ^ .
В этом случае наибольший общий делитель γ "=" ю ℏ с остатком ζ "=" ю ℏ 2 .

Мой вопрос таков:

Является ли этот процесс рассмотрения гамильтониана «многомерным операторным полиномом» степени ≥ 2 в евклидовой области, где переменные являются наблюдаемыми операторами, физически значимыми каким-то образом?

В частности, процесс нахождения наибольшего общего делителя ЧАС ^ и а ^ а ^ † в этой обстановке имеют какое-либо установленное физическое значение, где мы рассматриваем ЧАС ^ как оператор полной энергии и а ^ † , а ^ как операторы создания и уничтожения?

Обратите внимание, что (как и все алгоритмы) алгоритм евклидова деления является конечной рекурсией, поэтому этот вопрос можно несколько более широко рассматривать как вопрос о рекурсивных отношениях между гамильтонианом системы и операторами создания/уничтожения для этой системы.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Начиная с наибольшего общего делителя (НОД) ю ℏ и остаток ю ℏ 2 имеют единицы энергии в конкретном случае выше, я подозреваю, что НОД может быть каким-то образом связан с квантованием.

ВТОРОЕ РЕДАКТИРОВАНИЕ: В ответ на комментарий ниже я хотел бы уточнить, что совершенно нормально иметь понятие некоммутативного полинома или, в данном случае, коммутативного полинома со скобками лжи. Этот полином Гамильтона был бы такой структурой, поэтому Икс ^ п ^ "=" п ^ Икс ^ + [ Икс ^ , п ^ ] "=" п ^ Икс ^ + я ℏ по-прежнему хорош как личность. Однако для того, чтобы такая структура была евклидовой областью, мы должны потребовать, чтобы полные многочлены коммутировали друг с другом, что хорошо, поскольку мы можем отменить любую некоммутативность, присоединив соответствующие дополнительные члены (это определит подпространство евклидовой области общего операторного пространства в некотором смысле).

ДРУГОЕ РЕДАКТИРОВАТЬ: В ответ на другой комментарий ниже стоит упомянуть, что кольца многомерных полиномов, как правило, представляют собой только уникальные домены факторизации, а не обязательно евклидовы домены (мы можем разложить многомерные полиномы на уникальные множители, но уникальный НОД не всегда существует между двумя элементы). Несмотря на это, я считаю, что можно ограничиться определенными подмножествами колец многомерных полиномов, чтобы получить евклидову область (грубо говоря, посмотреть на подмножества, связанные факторами), и я подозреваю, что а ^ † а ^ и ЧАС ^ вообще будут жить вместе в таком подпространстве.

Любая причина для понижения? Если я могу что-то уточнить, пожалуйста, дайте мне знать.
На этом форуме есть мощная злая сила, которая минусует все, что ей не нравится. И вряд ли что-то нравится. Это практически организованная преступность, с которой мы ничего не можем поделать.
@safesphere Cest la vie -- спасибо за предупреждение.
Я не думаю, что то, что вы предлагаете, имеет большой смысл, но, возможно, я просто не совсем понимаю. Уточните, пожалуйста, следующее: учитывается ли в вашей трактовке некоммутативность Икс и п ? Похоже, с вашей точки зрения, Икс п и п Икс одно и то же, а на самом деле это не так. PS я не минусовал
Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/10804/2451 и ссылки там.
@SolenodonParadoxus Идея здесь в том, что мы формируем эрмитов гамильтониан, рассматривая его как полиномиальный оператор, состоящий из других физически наблюдаемых величин, помимо энергии. Что Икс ^ п ^ "=" п ^ Икс ^ + [ п ^ , Икс ^ ] в этом контексте хорошо, нам просто нужно убедиться, что полиномиальный гамильтониан в этих операторах сформирован соответствующим образом, чтобы он был эрмитовым. Это все немного отвлекающий маневр - я хотел бы принять как должное все стандартное поведение QM наблюдаемых операторов, кроме ЧАС ^ , затем построить ЧАС ^ и а ^ † а ^ .
@SolenodonParadoxus (продолжение) Затем я хотел бы попытаться понять явление квантования как связанное/определяемое процессом нахождения НОД ЧАС ^ и а ^ † а ^ , просматривая подмножество операторного пространства, где ЧАС ^ и а ^ † а ^ жить как евклидова область, которая гарантирует, что мы всегда можем использовать рекурсию, чтобы найти такой GCD (члены более высокого порядка в гамильтониане потребуют более длинных рекурсий, возможно, связанных с более сложными квантованиями).
примечание: я должен был поставить Икс ^ п ^ "=" п ^ Икс ^ + [ Икс ^ , п ^ ] в моем комментарии выше, но суть та же.
@AlecRhea хорошо, и почему этот GCD физически актуален в общем случае?
@SolenodonParadoxus Это то, что мне тоже любопытно - в общем случае операторов над сложными гильбертовыми пространствами, если мы построим один оператор ЧАС ^ как многочлен от связки эрмитовых компонент и попытаться найти НОД с произведением некоторых операторов а ^ † и а ^ такой, что г е г ( а ^ ) "=" г е г ( а ^ † ) "=" г е г ( ЧАС ^ ) 2 , мы в итоге пытаемся "расколоться" ЧАС ^ чтобы «диагонализировать» его в новом собственном базисе, где его действие на основное гильбертово пространство легче понять. Я не уверен в физическом значении этого.
Кроме того, эти функции являются полиномами от двух переменных ( Икс и п ), верно? Не могли бы вы указать, как многочлены двух переменных образуют евклидову область?
@SolenodonParadoxus Это хороший момент - кольца многомерных полиномов, как правило, представляют собой только уникальные области факторизации, а не обязательно евклидовы области (мы можем разложить многомерные многочлены на уникальные множители, но уникальный НОД не всегда существует между двумя элементами). Несмотря на это, я считаю, что можно ограничиться определенными подмножествами колец многомерных полиномов, чтобы получить евклидову область (грубо говоря, посмотреть на подмножества, связанные факторами), и я подозреваю, что а ^ † а ^ и ЧАС ^ вообще будут жить вместе в таком подпространстве.
Пожалуйста, уточните немного, как вы будете ограничиваться таким подмножеством в общем случае?
@SolenodonParadoxus Сегодня я обсуждал это со своим профессором, и мы пришли к выводу, что именно в этой части процесса есть некоторая тонкость, поскольку приведенное выше выражение для ЧАС ^ вместе с требованием, чтобы [ а ^ , а ^ † ] "=" 1 сводится к решению общей гамильтоновой проблемы, которая, как известно, неразрешима. Я подозреваю, что наша способность или неспособность ограничиться таким подмножеством, а также то, насколько сильно наша способность ограничить терпит неудачу, будут как-то связаны с этой неразрешимостью. В общем случае кольца многомерных многочленов не являются евклидовыми областями, поскольку НОД не уникальны.
@SolenodonParadoxus Мой последний комментарий на самом деле не точен, извините; многомерные кольца многочленов не являются евклидовыми областями, потому что не всегда есть общие множители двух многочленов п и д с г е г ( п ) ≤ г е г ( д ) . Например, рассмотрим п "=" Икс 2 у 5 и д "=" Икс у 7 , или любые одночленные многочлены от двух переменных с аналогичными неравенствами в показателях. Таким образом, мы можем рассмотреть подмножества кольца полиномов с несколькими переменными, определяемые как имеющие общий множитель, кроме 1 , и тогда у нас должна быть куча подпространств евклидовой области.
@AlecRhea да, это была именно моя точка зрения. Вот почему я думаю, что ваше предложение не имеет большого физического смысла, к сожалению. Но это была забавная тренировка ума.

Ответы (1)

Ваш вопрос на самом деле тесно связан со свойством факторизации некоторых ОДУ 2-го порядка. Это обсуждалось в диссертации Т. Е. Халла и опубликовано вместе с Л. Инфельдом под названием «Инфельд, Л. и Т. Е. Халл. Метод факторизации. Обзоры современной физики 23.1 (1951): 21».

Этот подход к факторизации тесно связан с суперсимметричной квантовой механикой (см. Купер, Фред, Авинаш Кхаре и Удай Сукхатме. «Суперсимметрия и квантовая механика». Physics Reports 251.5-6 (1995): 267-385).

Предположим, что у нас есть гамильтониан ЧАС ^ − для которого мы уже знаем решение в основном состоянии | ψ 0 ⟩ и соответствующая энергия основного состояния Е 0 , т.е. мы знаем (в Икс представительство), что ψ 0 ( Икс ) является решением

ЧАС ^ ψ ( Икс ) "=" ( − ℏ 2 2 м г 2 г Икс 2 + В − ( Икс ) ) ψ 0 ( Икс ) "=" 0 , В − ( Икс ) "=" В ( Икс ) − Е 0

Тогда можно показать, что гамильтониан можно переписать в виде

ЧАС ^ − "=" ℏ 2 2 м ( г 2 г Икс 2 + ψ 0 ″ ( Икс ) ψ 0 ( Икс ) ) "=" А ^ † А ^ ,
где
А ^ "=" ℏ 2 м ( г г Икс − ψ 0 ′ ( Икс ) ψ 0 ( Икс ) ) , А ^ † "=" ℏ 2 м ( − г г Икс − ψ 0 ′ ( Икс ) ψ 0 ( Икс ) )
и с А ^ и А ^ † удовлетворяющий
[ А ^ , А ^ † ] "=" 2 ℏ 2 м Вт ′ ( Икс ) , Вт ( Икс ) "=" − ℏ 2 м ( ψ 0 ′ ( Икс ) ψ 0 ( Икс ) ) .
где Вт ( Икс ) является сверхпотенциалом проблемы.

(Супер)симметрия возникает, если заметить, что

А ^ А ^ † ≡ ЧАС ^ + "=" − ℏ 2 2 м г 2 г Икс 2 + В + ( Икс ) , В + ( Икс ) "=" − В − ( Икс ) + 2 Вт 2 ( Икс ) , В ± ( Икс ) "=" Вт 2 ( Икс ) ± ℏ 2 м Вт ′ ( Икс )
В ± известны как суперсимметричные партнеры и поддерживают одни и те же собственные значения энергии Е н − "=" Е н + за исключением того, что самая низкая энергия Е 0 − , не имеющее аналога в В + ( Икс ) .

Если ψ н − ( Икс ) является собственной функцией ЧАС ^ − с собственным значением Е н − , затем А ^ ψ н − ( Икс ) является собственной функцией ЧАС ^ + с тем же собственным значением.

Простейшее применение этого - к бесконечному колодцу, с Е 0 "=" ℏ 2 π 2 2 м а 2 и ψ н ( Икс ) "=" 2 а грех ⁡ ( ( н + 1 ) π Икс а ) . Можно найти энергии и волновые функции основного и возбужденного состояний для потенциала В + ( Икс ) "=" ℏ 2 π 2 2 м а 2 ( 2 грех 2 ⁡ ( π Икс а ) − 1 ) .

Гамильтонианы, операторы рождения/уничтожения, рекурсия
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v