Как показать, что собственные состояния гамильтониана можно сделать ортонормированными?

Я рвал на себе волосы из-за этого весь вечер. Это должно быть просто, но я должен что-то упустить. Может ли кто-нибудь показать мне, как доказать, что собственные состояния гамильтониана можно сделать ортонормированными, пожалуйста?

Подсказка: используйте тот факт, что гамильтониан эрмитов, и рассмотрите скалярное произведение ⟨ ф | ЧАС г ⟩ .
Чтобы использовать подсказку @BrianBi, вы также должны предположить, что собственные значения, соответствующие собственным состояниям, различны. Если собственные значения одинаковы, то можно сделать так, чтобы они были ортогональны по Грамму-Шмидту.
Что касается вашего ответа во второй ссылке, Qmechanic, я не вижу проблемы с неортогональными собственными пространствами, если мы изменим наше правило Борна на «вероятность коллапса в состояние е → 1 это квадрат е → 1 компонент вектора ψ в основе е → я '. Для ортонормированного базиса мы можем получить эту компоненту, взяв скалярный продукт с е → 1 (восстановление правила Борна), но в произвольном базисе мы все еще можем извлечь компонент, нам просто нужен обратный базисный вектор. Проекции по-прежнему имеют смысл в неортонормированных базисах.

Ответы (1)

  1. Сначала докажем ортогональность невырожденных собственных векторов гамильтониана. Рассмотрим скобку и подействуем гамильтонианом в обоих направлениях,

    ⟨ α | ЧАС | β ⟩ "=" Е α ⟨ α | β ⟩ "=" Е β ⟨ α | β ⟩

    Если состояния не ортогональны ( ⟨ α | β ⟩ ≠ 0 ), то мы получили бы противоречие, поскольку мы предполагаем, что состояния невырождены ( Е α ≠ Е β ). Таким образом, мы должны иметь

    ⟨ α | β ⟩ "=" 0

    для отдельных состояний.

  2. Теперь нам нужно доказать, что скобка двух собственных состояний равна 1 до фазы. Рассмотрим тормоз:

    ⟨ α | α ⟩ "=" ∑ н ⟨ α | н ⟩ ⟨ н | α ⟩ "=" ⟨ α | α ⟩ ⟨ α | α ⟩

    где мы подставили сумму по состояниям гамильтониана, а затем использовали соотношение ортогональности, которое мы доказали выше. Теперь мы можем разделить обе части на ⟨ α | α ⟩ получить

    ⟨ α | α ⟩ "=" 1

  3. Таким образом, для мы рассмотрели только невырожденные собственные векторы. Вырожденные собственные векторы нельзя различить, и они не обязательно должны быть ортогональны друг другу. Однако для любого набора линейно независимых векторов (все волновые функции гамильтониана линейно независимы) существуют их линейные комбинации, ортогональные, которые можно найти с помощью процедуры Грама – Шмидта . Таким образом, можно выбрать векторы, которые будут линейно независимыми.
+1 Вероятно, вам нужно добавить, что если собственные значения равны, то вы можете сделать конечный набор вырожденных собственных векторов ортогональным с помощью процесса Грамма-Шмидта.
Как показать, что собственные состояния гамильтониана можно сделать ортонормированными?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v