Я работаю с лоренцевскими многообразиями, в более общем плане с псевдоримановыми многообразиями и приложениями к общей теории относительности. Я знаю определения конформных , киллинговых и гомотетических векторных полей в римановых гиперповерхностях. Определяются ли эти величины одинаково в псевдоримановых гиперповерхностях? Каков физический смысл этих величин?
Определения работают для произвольных римановых многообразий (не только гиперповерхностей) и обобщаются на псевдориманов случай — в конце концов, это довольно общие утверждения о производной Ли некоторого тензорного поля.
В общей теории относительности есть много интересных векторных полей (иногда называемых коллинеациями), считающихся бесконечно малыми симметриями геометрической структуры или физических величин, таких как метрика, тензоры кривизны и энергии-импульса, геодезические и световые конусы.
Они могут быть интересны по физическим причинам или просто по техническим причинам, чтобы сделать уравнения более управляемыми.
Предполагая, что я не накосячил (никаких обещаний), получаем следующую карту, где наборы векторных полей связаны включением:
Killing
|
+-----+-----+
| |
v v
matter homothetic
|
+-----+-----+
| |
v v
affine conformal
|
+-----+-----+
| |
v v
projective curvature
|
+-----+-----+
| |
v v
Ricci Weyl
Векторные поля Киллинга сохраняют метрику и всю производную структуру, включая тензор энергии-импульса, если предположить, что уравнения поля Эйнштейна выполняются. Физическим приложением может быть определение массы Комара для пространства-времени с векторным полем Киллинга, подобным времени.
Коллинеация материи — это векторное поле, сохраняющее энергию-импульс, но не обязательно любую геометрию.
Конформные симметрии сохраняют углы и, в частности, в псевдоримановом случае знак скалярных произведений, что имеет отношение к структуре светового конуса и, следовательно, к причинности.
Аффинные векторные поля сохраняют геодезические, включая их аффинный параметр (кратные собственному времени), тогда как проективные векторные поля не обязательно сохраняют последний.
Коллинеации кривизны сохраняют тензор Римана, тогда как коллинеации Риччи и Вейля сохраняют только тензор Риччи и Вейля соответственно.
Я оставлю конкретные приложения людям более осведомленным, чем я.
Джерри Ширмер
оаммам