Однородная группа Лоренца и наблюдаемые

Question

Однородная группа Лоренца и наблюдаемые

Анонимный

Для образующих группы Лоренца имеем следующую алгебру:

[{\hat{р}}_{я}, {\hat{р}}_{Дж}] "=" - ε_{я Дж к} {\hat{р}}_{к}, [{\hat{р}}_{я}, {\hat{л}}_{Дж}] "=" - ε_{я Дж к} {\hat{л}}_{к}, [{\hat{л}}_{я}, {\hat{л}}_{Дж}] "=" ε_{я Дж к} {\hat{р}}_{к} .

$[\hat {R}_{i}, \hat {R}_{j} ] = -\varepsilon_{ijk}\hat {R}_{k}, \quad [\hat {R}_{i}, \hat {L}_{j} ] = -\varepsilon_{ijk}\hat {L}_{k}, \quad [\hat {L}_{i}, \hat {L}_{j} ] = \varepsilon_{ijk}\hat {R}_{k}.$ Для расщепления алгебры можно ввести операторы

{\hat{Дж}}_{к} "=" {\hat{р}}_{к} + я {\hat{л}}_{к}, {\hat{К}}_{к} "=" {\hat{р}}_{к} - я {\hat{л}}_{к} .

$\hat {J}_{k} = \hat {R}_{k} + i\hat {L}_{k}, \quad \hat {K}_{k} = \hat {R}_{k} - i\hat {L}_{k}.$ Так

[{\hat{Дж}}_{я}, {\hat{Дж}}_{Дж}] "=" - ε_{я Дж к} {\hat{Дж}}_{к}, [{\hat{К}}_{я}, {\hat{К}}_{Дж}] "=" - ε_{я Дж к} {\hat{К}}_{к}, [{\hat{Дж}}_{я}, {\hat{К}}_{Дж}] "=" 0.

$[\hat {J}_{i}, \hat {J}_{j} ] = -\varepsilon_{ijk}\hat {J}_{k}, \quad [\hat {K}_{i}, \hat {K}_{j} ] = -\varepsilon_{ijk}\hat {K}_{k}, \quad [\hat {J}_{i}, \hat {K}_{j}] = 0.$ Итак, каждое неприводимое представление алгебры Ли характеризуется

(j_{1}, j_{2})

$(j_{1}, j_{2})$ , где

j_{1}

$j_{1}$ максимальное собственное значение

{\hat{J}}_{3}

$\hat {J}_{3}$ и

j_{2}

$j_{2}$ максимальное собственное значение

{\hat{K}}_{3}

$\hat {K}_{3}$ .

Тогда я могу классифицировать объекты, которые преобразуются с помощью матриц неприводимых представлений,

Ψ_{мю ν}^{'} "=" С_{мю α}^{{Дж}_{2}} С_{ν β}^{{Дж}_{2}} Ψ_{α β},

$\Psi_{\mu \nu}' = S^{j_{2}}_{\mu \alpha }S^{j_{2}}_{\nu \beta}\Psi_{\alpha \beta},$ где

S_{γ δ}^{j_{i}} : (2 j_{i} + 1) \times (2 j_{i} + 1)

$S^{j_{i}}_{\gamma \delta}: (2j_{i} + 1)\times (2j_{i} + 1)$ .

Для $(0, 0)$ У меня есть скалярное поле, для $\left(\frac{1}{2}, 0\right); \left(0; \frac{1}{2}\right)$ У меня спинор, для $(1, 0); (0, 1)$ У меня есть 3-векторы $\mathbf a, \mathbf b -> \mathbf a + i\mathbf b$ создание антисимметричного тензора и т. д.

Кроме того, для скаляра $j_{1} + j_{2} = 0$ , для спинора - $\frac{1}{2}$ , для тензора - $1$ . Итак, вопрос: сумма $j_{1} + j_{2}$ наблюдается экспериментально? Это связано со спиннингом?

Ответы (2)

Однородная группа Лоренца и наблюдаемые

Нойнек · Answer 1

Да, композиция $j_1 + j_2$ определяет спин частицы. Однако обратите внимание, что это добавление углового момента , которое может быть сложным.

Кроме того, вы можете подсчитать степени свободы: $(j_1, j_2)$ , каждый вносит свой вклад $2j_1 + 1$ состояний, и мы строим тензорное произведение, поэтому $(j_1, j_2)$ дает $(2j_1 + 1) * (2j_2 + 2)$ степени свободы. Для вектора имеем $(1/2, 1/2) \mapsto 2 * 2 = 4$ степени свободы.

Если представление приводимо, т. е. имеет вид $(j_1, j_2) + (k_1, k_2)$ , то вы просто добавляете степени свободы, полученные от каждой пары. Спинор Дирака имеет $(1/2, 0) + (0, 1/2) \mapsto (2) + (2) = 4$ степеней свободы тензор напряженности поля имеет $(1, 0) + (0, 1) \mapsto 3 + 3 = 6$ степенями свободы

В качестве примечания: представления $(1, 0)$ соответствуют не вектороподобным степеням свободы, а антисимметричным самодуальным тензорам. $(0, 1)$ является антисимметричным антисамодуальным тензором. Вектор (и единственный способ получить вектор из этого) $(1/2, 1/2)$ !

Но как вы поняли, что $j_{1} + j_{2}$ это спин?
Может быть, это относится к тому, что $j_{1} + j_{2}$ соответствует некоторому представлению $\frac{1}{2}(\hat {R}_{3} + i\hat {L}_{3}) + \frac{1}{2}(\hat {R}_{3} - i\hat {L}_{3})$ , который является генератором вращений?
Действительно. Спин вообще (не ограничиваясь случаем S = 1/2) есть не что иное, как представление относительно группы вращений, являющейся подгруппой группы Лоренца.
И мы можем говорить о $j_{1} + j_{2}$ наблюдаемым, поскольку операторная матрица (как тензорное произведение двух операторов $\hat {J}_{i}, \hat {K}_{i}$ ) соответствующих неприводимых представлений является эрмитовым?
Это непростое дело, так как $\hat K_i$ сами на самом деле не эрмитовы. Это связано с тем фактом, что пространство параметров базовой группы некомпактно (ускорения могут достигать любой скорости). $\hat J_i$ прекрасно наблюдаемы, как и псевдовектор Паули-Лубански .
Как вы себя идентифицировали (особенно как наблюдаемое) $\hat {J}_{i}$ с вектором Паули-Лубански? Оператор пространственной части этого вектора пропорционален $\hat {\mathbf L} - [\hat {\mathbf R} \times \hat {\mathbf P }]$ , так что я не понимаю. И $\hat {J}_{i}$ не эрмитова, не так ли?

Тримок · Answer 2

Да, представление, помеченное $(j_1,j_2)$ соответствует полному спину $j_1+j_2$ , (строго говоря о спине нужно, чтобы один из $j_1$ или $j_2$ равен нулю) и если $j_1=j_2$ , это реальное представление, но у вас может быть представление, которое является суммой или неприводимыми представлениями, некоторые примеры:

$(\frac{1}{2},0)$ соответствует левому спинору Вейля

$(0,\frac{1}{2})$ соответствует правому спинору Вейля

$(\frac{1}{2},0) + (0,\frac{1}{2})$ , является биспинором Дирака

$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ соответствует вектору Лоренца.

$(1,0) + (0,1)$ , представляет собой представление электромагнитного поля

В более общем случае, если комплексно-сопряженное представление (интерпретирующее во всех терминах $j_1$ и $j_2$ ) совпадает с представлением, то представление действительно.

Например, представление Дирака или представление электромагнитного поля являются реальными представлениями.

Спасибо. Но я не понимаю, как отождествить экспериментально наблюдаемый спин и $j_{1} + j_{2}$ ?
Хороший вопрос... Ну, я бы сказал, что практически наблюдаемые частицы находятся в представлении $(0,x)$ или $(x,0)$ или сумма $(x,0)+(0,x)$
Так что, может быть, оскорбительно говорить о вращении, если $j_1$ и $j_2$ оба не равны нулю.
Почему? Если один из $j_{i}$ равна нулю, это означает лишь отсутствие одной из матриц неприводимых представлений. Кроме того, только сумма $j_{1}, j_{2}$ может быть связан с оператором-отшельником.
Так что, если я правильно понимаю, можно "наблюдать" только сумму $j_{1} + j_{2}$ .
Это неправда. например, $(1/2, 0)$ и $(0, 1/2)$ представления легко различимы из-за нарушения партийности .
@Neuneck, ты прокомментировал мой комментарий, не так ли?

Однородная группа Лоренца и наблюдаемые

Анонимный

Ответы (2)

Нойнек

пользователь8817

пользователь8817

Нойнек

пользователь8817

Нойнек

пользователь8817

Тримок

пользователь8817

Тримок

Тримок

пользователь8817

пользователь8817

Нойнек

пользователь8817

Количество компонентов спинора

(12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) представление SU(2)⊗SU(2)SU(2)⊗SU(2)SU (2)\otimes SU(2)

Почему представления, а не просто группы?

Почему мы отождествляем симметричные тензоры 2-го ранга с частицами со спином 2 в теории струн?

Каково четырехмерное представление генераторов SU(2)SU(2)SU(2)?

Заряд поля под действием группы

Почему присоединенное представление имеет значение в некоторых теориях поля?

Как мы можем измерить хиральность в экспериментах?

Неприводимые тензорные представления с «ковариантными» индексами

Как построить SU(2)SU(2)SU(2) представление группы Лоренца, используя SU(2)×SU(2)∼SO(3,1)SU(2)×SU(2)∼SO (3,1)SU(2)\times SU(2)\sim SO(3,1) ?