Неприводимые тензорные представления с «ковариантными» индексами

В продолжение моего вопроса о "самом общем" С U ( 2 ) -симметричное взаимодействие двух частиц со спином 1/2, я размышляю над следующим вопросом:

Рассмотрим оператор, действующий только на одну частицу со спином 1/2 и только на спиновую часть. При вторичном квантовании это можно записать как

∑ α β ψ α † В α β ψ β

Теперь, под С U ( 2 ) , операторы преобразуются как

ψ α † "=" ∑ α ′ ψ α ′ † Д α α ′
с Д е С U ( 2 ) .

Я могу перенести это преобразование в оператор и сделать вывод, что оно преобразуется как

В α β → ∑ α ′ β ′ Д α α ′ В α ′ β ′ Д β β ′ †
.

(Возможно, я получил некоторые крестики и индексы наоборот, но важно то, что одна матрица является дополнением к другой).

Теперь, если я правильно понимаю, это позволяет мне сделать вывод, что В α β преобразуется «приводимо как тензорное произведение двух представлений спина 1/2», т.е. как 1 2 ⊗ 1 2 . Отсюда я делаю вывод, что В должен распадаться на один компонент, который трансформируется подобно спину 0 частица и один компонент, который трансформируется как спин 1 частица.

Действительно, как В это 2 × 2 матрицу, я могу записать ее как линейную комбинацию единичной матрицы и матриц Паули. Первый преобразуется как скаляр, т. е. как спин 0 , тогда как последние преобразуются как векторы. Тем не менее, у меня есть проблемы с тем, что я знаю о комбинировании вращения. 1 / 2 частиц с использованием коэффициентов Клебша-Гордана, где я имею, например, для синглета

| 0 0 ⟩ "=" 1 2 ( ↑↓ − ↓↑ )

Из-за этой концептуальной проблемы мне также трудно обобщить это на случай двух взаимодействующих частиц со спином 1/2, что затем должно привести к взаимодействию, которое преобразуется сводимо как 1 / 2 ⊗ 1 / 2 ⊗ 1 / 2 ⊗ и дает начало двум различным синглетам.

Буду признателен, если кто-нибудь сможет развеять мои заблуждения...

РЕДАКТИРОВАТЬ: я забыл указать, что я имею в виду под «ковариантом» в заголовке: я думаю, что важно отметить, что матричные элементы В α β не являются 4 элементами «декартова» тензора ранга 2. Весь оператор В может быть элементом тензора более высокого ранга или даже суммой элементов тензоров другого ранга. Простым примером такой вещи может быть оператор «1 + x», представляющий собой сумму тензора нулевого ранга (скаляра) и элемента декартова тензора ранга 1.

Что я имею в виду под ковариантом, так это то, что один из индексов В α β преобразует с матрицей Д а другой с матрицей Д † .

Также важно то, что компоненты оператора преобразуются с фактическим С U ( 2 ) -матрицы, а не с некоторой матрицей вращения р е С О ( 3 ) . Я думаю, именно поэтому у меня возникают проблемы с переводом стандартной литературы по тензорным операторам в мою ситуацию...

Вы правы насчет Паули/трассировки. Это объясняется (возможно, в слишком общем виде, поскольку речь идет в основном о больших представлениях) в моем ответе на этот вопрос: physics.stackexchange.com/questions/10403/… .

Ответы (1)

Я думаю, что проблема, с которой вы столкнулись (хотя это не совсем ясно из того, что вы пишете), заключается в том, что

  • вы должны различать представления и их комплексно-сопряженные представления
  • конкретных для С U ( 2 ) , представления изоморфны своим комплексно-сопряженным представлениям
  • изоморфизм, соединяющий 1 2 представлений, а его комплексно-сопряженным является умножение на ε α β , полностью антисимметричная двумерная матрица.

Ваш спинор ψ β превращается в 1 2 представление. И ψ β † преобразует в комплексно-сопряженном представлении 1 2 * . Если вы посмотрите на свою формулу преобразования ψ и ψ † Они не одинаковы. Однако, если вы посмотрите на свойства преобразования ψ α т ε α β вы увидите, что это преобразуется точно так же, как ψ † потому что ε о т ε "=" о для всех матриц Паули о . Оператор, который вы разложили (правильно), преобразуется как ψ † ⊗ ψ , который имеет синглетную часть ψ α † дельта α β ψ β . Однако двухгосударственная система, которой вас изначально учили, композиция Клебша-Гордона трансформируется подобно ψ † ⊗ ψ † , (поскольку вы получаете его от создания двух 1 2 частицы). Чтобы он выглядел так же, мы вставляем копию ε матрица (с использованием ϵ 2 "=" − 1 . Итак, синглетная часть ψ † ⊗ ψ † является ψ α † ϵ α β ψ β † , что вы и написали в кет-нотации в своем ответе. Тройная часть ψ † ε о ψ † который вы можете проверить, совпадает с тем, что вы знаете из QM.

Чтобы иметь дело с более высокими измерениями, вам просто нужно использовать ε для каждого индекса, который вы хотите изменить на комплексно-сопряженный. Повторюсь, это идиосинкразия С U ( 2 ) , для С U ( 3 ) и выше приходится различать представления и их комплексно-сопряженные. У людей есть тщательные обозначения для этого материала, которые четко изложены в Srednicki IIRC, и я думаю, что у Рона есть ответ, объясняющий это где-то.

Кстати, во многих местах вы увидите, что люди используют я о у вместо ε поскольку они имеют одни и те же компоненты в обычном соглашении. Это немного сбивает с толку, так как кажется, что в этом есть что-то особенное. у направлении, что, конечно, неверно. Это просто условное совпадение, и я бы рекомендовал избегать его использования (тем более что, строго говоря, линейные карты ε и о у даже не работайте на одних и тех же пространствах).

Надеюсь, это поможет.

Я разместил это, когда вы разместили свое редактирование. Довольно неясно, что вы пытаетесь сказать, но я надеюсь, что этот ответ все же охватит это.
Я еще не полностью переварил ваш ответ, но чувствую, что это именно то, что я искал. То, что я громоздко назвал «ковариантным» индексом, действительно относится к тому, что вы говорите о 1 / 2 и 1 * / 2 .
Последний вопрос... Я пытаюсь понять, как ϵ α β ψ β † трансформируется так же, как ψ , но я получаю там знак минус, в основном от вставки ϵ дважды. Это ошибка или это не влияет на конечный результат? Суть в том, что для каждой матрицы Д е С U ( 2 ) , мы знаем это − Д также в С U ( 2 ) ? (что имеет смысл, т.к. ( − Д ) ( − Д ) † "=" Д Д † "=" 1 и дет ( − Д ) "=" дет ( Д ) "=" 1 для матриц четной размерности).
А, забыл что конечно матрица Д является не просто матрицей Паули, но на самом деле может быть параметризована как потому что ⁡ ф / 2 + я н → ⋅ о → грех ⁡ ф / 2 и если я затем творю магию с ϵ матрица я получаю ϵ Д * ϵ "=" − Д , который отменяет − 1 от вставки ϵ 2 . Большое спасибо, ваш ответ очень помог
Неприводимые тензорные представления с «ковариантными» индексами
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v