Почему мы отождествляем симметричные тензоры 2-го ранга с частицами со спином 2 в теории струн?

Спин$s$частицы характеризует действие на нее генераторов вращения. В$D$измерения, вы представляете маленькую группу$SO(D-1)$для массивных частиц и$SO(D-2)$для безмассовых. На самом деле, вам действительно нужно учитывать его универсальное покрытие$\textrm{Spin}(n)$что оказалось просто его двойной обложкой.

Теперь вы можете определить вращение как наибольшее реальное$s$такой, что

$$\mathrm{exp}\left(\frac{2i\pi}{s}J\right) = \rm{id}$$ куда $J$есть любой генератор в вашем представлении. По сути, это утверждение о том, что для возврата к идентичности вам нужно сделать $4\pi$вращение для вращения $\frac{1}{2}$, а $2\pi$для спина 1, а $\pi$для спина 2... Обратите внимание, что поскольку универсальное покрытие является двойным, $s$должно быть полуцелым.

Ясно, что векторы Лоренца имеют спин 1. Возьмем симметричный 2-тензор$T_{\mu\nu}$. Он трансформируется как$T'_{\alpha\beta} = R^{\:\,\mu}_{\alpha}R^{\:\,\nu}_{\beta}T_{\mu\nu}$, куда$R = \mathrm{exp}(i\theta J)$обычные$SO(n)$матрицы. Бесконечно мало,

$$\begin{align} \delta T_{\alpha\beta} & = i\theta(J^{\:\,\mu}_{\alpha}\delta^{\:\,\nu}_\beta + J^{\:\,\nu}_{\beta}\delta^{\:\,\mu}_\alpha)T_{\mu\nu} \\ & = 2 i\theta J^{\:\,\mu}_{\alpha}T_{\mu\beta} \\ \end{align}$$ где симметрия тензора имеет решающее значение. Теперь, потому что $\mathrm{exp}(2i\pi J) = 1$, вы видите, что для $\theta = \pi$, вы вернетесь к личности. Это спин 2!

Вы можете обобщить это, чтобы показать, что бесследовые симметричные n-тензоры имеют спин n. Вам нужно, чтобы они были бесследными, потому что вам нужны неприводимые представления. При этом не должно быть слишком сложно получить степени свободы вращения.$s$частица в$D$измерения, например, для гравитона, это$D(D-3)/2$.