Вопрос на странице 65 тома 1 QFT Вайнберга.

Question

Вопрос на странице 65 тома 1 QFT Вайнберга.

Физика
импульс
гильбертово пространство
нормализация
квантовая теория поля
Дирак-дельта-распределения

Ричард Толстяк

Уравнение (2.5.12) на странице 65 говорит, что:

(Ψ_{к^{'}, о^{'}}, Ψ_{к, о}) "=" {дельта}^{3} (к^{'} - к) {дельта}_{о^{'} о} .

$\left(\boldsymbol{\Psi}_{k',\sigma'},\boldsymbol{\Psi}_{k,\sigma}\right)=\delta^3\left(\boldsymbol{k}'-\boldsymbol{k}\right)\delta_{\sigma '\sigma}.$ Мне интересно, почему он использует

δ^{3} (k^{'} - k)

$\delta^3\left(\boldsymbol{k}'-\boldsymbol{k}\right)$ трехвекторного импульса, а не

δ^{4} (k^{' μ} - k^{μ})

$\delta^4\left(k'^{\mu}-k^{\mu}\right)$ четырехимпульсного.

Робин Экман

Может ли быть так: поскольку

k^{μ} k_{μ} = m^{2}

$k^\mu k_\mu = m^2$ , равенство пространственных компонент влечет равенство временных компонент с точностью до знака. Но

k^{0} \geq 0

$k^0 \ge 0$ , так что на самом деле это равенство.

Ричард Толстяк

@RobinEkman Вы говорите, что мы рассматриваем здесь только состояния одной частицы?

Робин Экман

Да, я думаю, что в этом разделе Вайнберг рассматривает только одночастичные состояния. Если бы это были многочастичные состояния, то их должно было бы быть несколько.

δ

$\delta$ :с.

Ричард Толстяк

@RobinEkman Спасибо за ваш ответ. Однако я снова проверил страницу и думаю, что Вайнберг говорит о нормализации этих состояний со стандартным импульсом.

k^{μ}

$k^\mu$ . Если мы говорим о состояниях только одного типа частиц,

k^{μ}

$k^\mu$ просто фиксируется (равно (0,0,0,M) в соответствии с табл. 2.1 на стр. 66). Поэтому я думаю, что здесь эти состояния не являются состояниями частицы определенной массы m. Я прав?

Чжэн Лю

k' здесь не является стандартным импульсом, в то время как k есть. Пожалуйста, обратитесь к \url{ physics.stackexchange.com/questions/24766/… }

Ответы (1)

Вопрос на странице 65 тома 1 QFT Вайнберга.

Может ли быть так: поскольку $k^\mu k_\mu = m^2$ , равенство пространственных компонент влечет равенство временных компонент с точностью до знака. Но $k^0 \ge 0$ , так что на самом деле это равенство.
@RobinEkman Вы говорите, что мы рассматриваем здесь только состояния одной частицы?
Да, я думаю, что в этом разделе Вайнберг рассматривает только одночастичные состояния. Если бы это были многочастичные состояния, то их должно было бы быть несколько. $\delta$ :с.
@RobinEkman Спасибо за ваш ответ. Однако я снова проверил страницу и думаю, что Вайнберг говорит о нормализации этих состояний со стандартным импульсом. $k^\mu$ . Если мы говорим о состояниях только одного типа частиц, $k^\mu$ просто фиксируется (равно (0,0,0,M) в соответствии с табл. 2.1 на стр. 66). Поэтому я думаю, что здесь эти состояния не являются состояниями частицы определенной массы m. Я прав?
k' здесь не является стандартным импульсом, в то время как k есть. Пожалуйста, обратитесь к \url{ physics.stackexchange.com/questions/24766/… }

Кайус · Answer 1

(Ответ студента, также изучающего книгу Вайнберга)

По сути, я буду повторять то, что @Robin Ekman сказал в своем комментарии, но с некоторыми пояснениями.

Прежде всего, здесь Вайнберг говорит о состояниях одиночной массивной частицы . То есть, $\Psi_{k,~\sigma}$ и $\Psi_{k',~\sigma'}$ являются двумя возможными собственными состояниями импульса этой частицы, и первое выбрано в качестве «стандартного» состояния. Теперь, как указывает Экман, для такой частицы 4-импульс $k^\mu$ ограничен на гиперболоиде $k^\mu k_\mu = m$ с $k^0>0$ в импульсном пространстве. Следовательно, только $3$ независимые параметры необходимы для «перечисления» всех собственных значений импульса (то есть для полной параметризации гиперболоида на математическом жаргоне). Эти $3$ параметров удобно выбрать в качестве 3-импульса $\mathbf{k}$ , которые являются лишь пространственными компонентами $k^\mu$ . В этом смысле мы можем написать (без всякой двусмысленности)

| к^{'}, о^{'} ⟩ "=" Ψ_{к^{'}, о^{'}},

$\left|{\mathbf{k}',~\sigma'}\right.\rangle := \Psi_{k',~\sigma'},$ где

k^{'}

$\mathbf{k}'$ является пространственной частью

k^{'}

$k'$ .

Далее, учитывая метки $k'$ и $\sigma'$ вместе мы можем видеть, что они предназначены для формирования полного набора квантовых чисел. Если быть более точным, то государства

{| к^{'}, о^{'} ⟩ | к^{'} е р^{3}, о^{'} "=" все разрешенные дискретные собственные значения}

$\left\{\left.\left|{\mathbf{k}',~\sigma'}\right.\rangle\right| \mathbf{k}'\in \mathbb{R}^3,\sigma'=\text{all the allowed discrete eigenvalues}\right\}$ для ортонормированного базиса гильбертова пространства одной частицы. Здесь «разрешенные дискретные собственные значения» определяются из представления маленькой группы. Отношение

(Ψ_{к^{'}, о^{'}}, Ψ_{к, о}) "=" дельта (к - к^{'}) {дельта}_{о о^{'}}

$(\Psi_{k',~\sigma'},\Psi_{k,~\sigma})=\delta(\mathbf{k}-\mathbf{k}')\delta_{\sigma~\sigma'}$ является просто (частью) условия ортонормированности в этом гильбертовом пространстве.

Здесь может быть полезно указать, что «индуцированный элемент объема» гиперболоида при параметризации $\mathbf{k}$ , является

д^{3} к / \sqrt{к^{2} + м^{2}},

$d^3\mathbf{k}/\sqrt{\mathbf{k}^2+m^2},$ как дается вторым уравнением на странице 67 книги Вайнберга.

Также, когда Вайнберг переходит к безмассовым частицам, гиперболоид в настоящем обсуждении превращается в нулевую поверхность («будущий световой конус» $k^\mu k_\mu = 0,~ k^0 > 0$ ), и логика почти такая же!

Означает ли это, что нормализация одночастичных состояний не является лоренц-инвариантной? (И это проблема?)

Вопрос на странице 65 тома 1 QFT Вайнберга.

Ричард Толстяк

Робин Экман

Ричард Толстяк

Робин Экман

Ричард Толстяк

Чжэн Лю

Ответы (1)

Кайус

Лама по физике

КТП Вайнберга 1 Нормализация одного состояния 1 частицы с. 66

Как можно взять скалярное произведение состояний, принадлежащих двум разным гильбертовым пространствам?

Ожидаемое значение вакуума в присутствии источника

Единицы дельта-функции Дирака в квантовой механике

δ(0)=∫∞−∞|x1(x)|2dxδ(0)=∫−∞∞|x1(x)|2dx\delta(0)=\int_{-\infty}^\infty |x_1( х)|^2dx?

Матричные элементы оператора импульса в позиционном представлении

Вывод математического ожидания [X^,H^][X^,H^][\hat X,\hat H]

Сокращение между скалярным полем и собственным состоянием импульса

Нормализация вакуумного состояния в теории поля

Операторы, распределения и состояния в QFT