Определение определителя в духе алгебры и геометрии

Это кажется довольно непрозрачным: это способ вычисления количества, а не точное определение или даже мотивация. Это также оставляет полностью открытым вопрос о том, почему такая функция существует и хорошо определена. Свойства, которые вы даете, достаточны, если вы пытаетесь представить матрицу в форме верхнего треугольника, но как насчет других вычислений? Это также не дает обоснования одному из наиболее важных свойств определителя, что$\det(ab) = \det a \det b$.

Я думаю, что лучший способ определить определитель — это ввести произведение клина.$\Lambda^* V$конечномерного пространства$V$. При этом любая карта$f:V \to V$индуцирует карту$\bar{f}:\Lambda^n V \to \Lambda^n V$, где$n = \dim V$. Но$\Lambda^n V$это$1$-мерное пространство, поэтому$\bar{f}$просто умножение на скаляр (независимо от выбора базиса); этот скаляр по определению точно$\det f$. Тогда, например, мы получаем условие, что$\det f\not = 0$если$f$является изоморфизмом бесплатно: Для базиса$v_1, \dots, v_n$из$V$, у нас есть$\det f\not = 0$если$f(v_1\wedge \cdots \wedge v_n) = f(v_1) \wedge \cdots \wedge f(v_n) \not = 0$; то есть, если$f(v_i)$линейно независимы. Кроме того, поскольку$h = fg$имеет$\bar{h} = \bar{f}\bar{g}$, у нас есть$\det(fg) = \det f \det g$. Остальные свойства следуют аналогично. Это требует немного большей сложности, чем обычно предполагается в классе линейной алгебры, но это первая конструкция$\det$Я видел, что это мотивировано и прозрачно объясняет, что в противном случае является списком произвольных свойств.

Способ, которым я обучаю своих студентов детерминантам, заключается в том, чтобы начать с падежа.$n=2$, и использовать комплексные числа и/или тригонометрию, чтобы показать, что для$(a,b), (c,d)$векторов на плоскости, количество

$$ad-bc=||(a,b)||\cdotp ||(c,d)|| \sin \theta$$ область со знаком между $(a,b)$и $(c,d)$(в этом порядке).

Затем, используя векторное произведение и его свойства (мы видели их до того, как перейти к теме определителей в полном смысле), мы проверяем, что$3$к$3$определители несут смысл подписанных объемов.

Следующим шагом является введение определителей как альтернативных полилинейных функций. Мы видели примеры билинейных отображений (внутренних произведений), трилинейных отображений, таких как

$$(u,v,w)\mapsto (u\times v)\bullet w$$ и четырехлинейные карты $$(a,b,c,d)\mapsto (a\bullet c) (b\bullet d)-(b\bullet c) (a\bullet d),$$ $$(a,b,c,d)\mapsto (a \times b)\bullet (c\times d).$$

Теперь, объясняя полилинейность, мы подчеркивали, что факт равенства последних двух примеров можно доказать, если только мы проверим равенство для случая, когда$a,b,c,d$являются векторами канонического базиса.

Затем наступает время определить определитель$n$векторы в$\mathbb{R}^n$, который является новым примером$n-$линейная, альтернативная функция. Они проверяют, что векторное пространство таких отображений действительно$\left(^n_n\right).$Студенты, таким образом, узнают, что определитель, по существу, является единственно возможной такой функцией, вплоть до кратной, точно так же, как они увидели, что более общие полилинейные отображения зависят исключительно от своих значений на векторах выбранного базиса (скажем, канонического базиса в нашем случай).

Хотя я научился доказывать такие вещи, как$\det(AB)=\det(A) \det(B)$строго функториально, в классе мы определяем карту

$$L(X_1, \ldots , X_n)=\det(AX_1, \ldots , AX_n),$$ которая в силу единственности является постоянным кратным детерминантной функции $T(X_1, \ldots , X_n)=\det(X_1, \ldots, X_n),$и вычислить константу путем оценки единичной матрицы, т.е. $X_i=e_i.$

Таким образом$\det(AB)=\det(A)\det(B).$

Именно в книге Т. В. Корнера " Векторы, чистые и прикладные" можно увидеть конструкцию, использующую элементарные матрицы и являющуюся строгой. ОП может проверить книгу Корнера, чтобы увидеть красивую, немного более приземленную экспозицию.

В оп. цит. можно видеть, как Корнер использует тот факт, что обратимая матрица может быть разложена как произведение элементарных матриц, чтобы получить формулу$\det(AB)=\det(A)\det(B).$

Примечание. Я намеренно был краток в своем изложении, чтобы не повторять слишком много материала, который уже был включен в другие ответы.

$\det$- единственное полилинейное знакопеременное линейное отображение такое, что$\det I = 1$. (2) и (3) в сочетании со следующим свойством определяют$\det$уникально.

$$\det(a_1,\dots,u,\dots,a_n) + \det(a_1,\dots,\lambda v,\dots,a_n) = \det(a_1,\dots,u + \lambda v,\dots,a_n)$$ Единственное, чего не хватает в вашем определении, это линейности.

Геометрический смысл определителя, скажем, матрицы 3 на 3 - это (со знаком) объем параллелепипеда, натянутого на три вектора-столбца (или три вектора-строки). Это обобщает (со знаком) площадь параллелограмма, натянутую двумя векторами-столбцами матрицы 2 на 2.

На следующем этапе, чтобы продолжить геометрическое определение, вам нужно будет уточнить значение «подписанного» выше. Наивное определение объема всегда положительно, в то время как детерминант может быть отрицательным, поэтому есть некоторые объяснения с точки зрения ориентации.

Маршрут, который чаще всего выбирают как преподаватели, так и составители учебников, — алгебраический, где можно написать волшебную формулу и — бум! определитель определен. Это нормально, если вы хотите пройти определенный объем материала, требуемого курсом, но с педагогической точки зрения это может быть не лучший подход.

В конечном счете, для правильного объяснения этой концепции требуется сочетание геометрии и алгебры. Он связан с более сложными темами, такими как внешние алгебры, но это уже следующий этап.

Обоснование, которое я мог бы дать детерминантной функции, состоит в том, чтобы обобщить свойство мощности, т.е. мы знаем, что для любых скаляров$x,a,b,c$он содержит:$x^{a + b + c \ldots} = x^a x^b x^c\ldots$

Но, допустим, что$a,b,c\ldots$на самом деле являются диагональными элементами матрицы$\mathbf{A}$тогда он считает, что$x^{trace(\mathbf{A})} = det(x^\mathbf{A})$, с$x^A$матричная экспонента (основы$x$);