Является ли detdet\det для Mi,j=min(xi,xj)2(3max(xi,xj)−min(xi,xj))Mi,j=min(xi,xj)2(3max(xi,xj)− min(xi,xj))M_{i,j} = \min(x_i, x_j)^2 \left( 3 \max(x_i, x_j) - \min(x_i, x_j) \right) не равно нулю?

В решении Ювала упал показатель степени; это легко увидеть, так как его первое выражение имеет 6-ю степень, а более позднее - только 5-ю. Должен быть

В общем случае полезно помнить, что это симметричная матрица, а все симметричные матрицы можно диагонализовать. Кроме того, поскольку вы ограничили$x_i$располагаться в строго возрастающем порядке, все$\min$и$\max$вещи переходят к$M_{i,j} = x_i^2(3x_j - x_i) = 3x_i^2x_j - x_i^3$в любое время$i \leq j$. Это сразу распознается как$(D_{x_i} - D_{x_j})(x_i^3x_j)$, где$D$является дифференциальным оператором. Я не знаю, полезен ли какой-либо из этих фактов, но это определенно кажется подозрительным. Вы можете попробовать показать, что все собственные значения всегда положительны, что будет означать, что матрица положительно определена (подразумевается несингулярность).

Я проверил для n <= 8, что все матрицы положительно определенные (и, в частности, невырожденные).

Это проверяет$n=2$. Тогда определитель [спасибо, Paul Z]

Обратите внимание, что порядок или$x_i$не имеет значения (пока они все разные), а верхняя граница$1$не имеет значения, поскольку все однородно (если вы умножаете все на некоторую константу, регулярность/сингулярность вашей матрицы остается прежней).

Следующим шагом будет повторение явного вычисления для$n=3$, и попытайтесь либо факторизовать его, либо численно найти контрпример.