Упрощение выражения с произведениями ∏1≤i Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-04-03T01:55:24.393Z Педро Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-04-03T01:55:24.393Z Определитель матрицыС= (ся дж)п × п С "=" ( с я Дж ) н × н C=(c_{ij})_{n\times n}записи которого имеют видся дж"="1ая+бДж с я Дж "=" 1 а я + б Дж c_{ij}=\frac{1}{a_i+b_j}дан кем-то дет C"="∏1 ≤ я < j ≤ п(ая−аДж) (бя−бДж)∏1 ≤ я , j ≤ п(а1+бя). дет С "=" ∏ 1 ≤ я < Дж ≤ н ( а я − а Дж ) ( б я − б Дж ) ∏ 1 ≤ я , Дж ≤ н ( а 1 + б я ) . \det C=\frac{\prod_{1\leq i<j\leq n}(a_i-a_j)(b_i-b_j)}{\prod_{1\leq i,j\leq n}(a_1+b_i)}.В этих заметках (стр. 145) эта формула применяется к некоторым матрицамг г Gигм г м G_m. Результат дет G =∏1 ≤ я < j ≤ п(я2π2−Дж2π2)2∏1 ≤ я , j ≤ п(я2π2+Дж2π2),детгм"="∏′1 ≤ я < j ≤ п(я2π2−Дж2π2)2∏′1 ≤ я , j ≤ п(я2π2+Дж2π2)(1) (1) дет г "=" ∏ 1 ≤ я < Дж ≤ н ( я 2 π 2 − Дж 2 π 2 ) 2 ∏ 1 ≤ я , Дж ≤ н ( я 2 π 2 + Дж 2 π 2 ) , дет г м "=" ∏ 1 ≤ я < Дж ≤ н ′ ( я 2 π 2 − Дж 2 π 2 ) 2 ∏ 1 ≤ я , Дж ≤ н ′ ( я 2 π 2 + Дж 2 π 2 ) \det G=\frac{\prod_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}{\prod_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)},\quad \det G_m=\frac{\prod^{\prime}_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}{\prod^{\prime}_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}\tag{1}"где′ ′ ^\primeозначает, что индексм м mбыл пропущен в продукте». Цель состоит в том, чтобы вычислитьдетгмде г дет г м дет г \frac{\det G_m}{\det G}. Прямая замена дает детгмде г"="∏′1 ≤ я < j ≤ п(я2π2−Дж2π2)2∏′1 ≤ я , j ≤ п(я2π2+Дж2π2)⋅∏1 ≤ я , j ≤ п(я2π2+Дж2π2)∏1 ≤ я < j ≤ п(я2π2−Дж2π2)2 дет г м дет г "=" ∏ 1 ≤ я < Дж ≤ н ′ ( я 2 π 2 − Дж 2 π 2 ) 2 ∏ 1 ≤ я , Дж ≤ н ′ ( я 2 π 2 + Дж 2 π 2 ) ⋅ ∏ 1 ≤ я , Дж ≤ н ( я 2 π 2 + Дж 2 π 2 ) ∏ 1 ≤ я < Дж ≤ н ( я 2 π 2 − Дж 2 π 2 ) 2 \frac{\det G_m}{\det G}=\frac{\prod^{\prime}_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}{\prod^{\prime}_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}\cdot \frac{\prod_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}{\prod_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}который, согласно примечаниям, должен упростить до детгмде г= 2м2π2∏′1 ≤ к ≤ п(м2+к2)2(м2−к2)2.(2) (2) дет г м дет г "=" 2 м 2 π 2 ∏ ′ 1 ≤ к ≤ н ( м 2 + к 2 ) 2 ( м 2 − к 2 ) 2 . \frac{\det G_m}{\det G}=2 m^2 \pi^2\underset{{1\leq k\leq n}}{{\prod}^{\prime}}\frac{(m^2+k^2)^2}{(m^2-k^2)^2}.\tag{2} Вопрос: Как манипулировать( 1 ) ( 1 ) (1)правильно, чтобы получить( 2 ) ( 2 ) (2)? линейная алгебра матрицы численные методы определитель теория управления Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-04-03T01:55:24.393Z Ух ты. Итакπ π \pi- это фактическая полуокружность единичного круга, а не перестановка, написанная справа... Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-04-03T01:55:24.393Z Дарий Гринберг Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-04-03T01:55:24.393Z @darijgrinberg Да, просто константа. Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-04-03T01:55:24.393Z Педро Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-04-03T01:55:24.393Z Тэнгу Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-04-03T01:55:24.393Z У нас есть детгмде г"="∏′1 ≤ я < j ≤ п(я2π2−Дж2π2)2∏1 ≤ я < j ≤ п(я2π2−Дж2π2)2⋅∏1 ≤ я , j ≤ п(я2π2+Дж2π2)∏′1 ≤ я , j ≤ п(я2π2+Дж2π2). дет г м дет г "=" ∏ 1 ≤ я < Дж ≤ н ′ ( я 2 π 2 − Дж 2 π 2 ) 2 ∏ 1 ≤ я < Дж ≤ н ( я 2 π 2 − Дж 2 π 2 ) 2 ⋅ ∏ 1 ≤ я , Дж ≤ н ( я 2 π 2 + Дж 2 π 2 ) ∏ 1 ≤ я , Дж ≤ н ′ ( я 2 π 2 + Дж 2 π 2 ) . \frac{\det G_m}{\det G}=\frac{\prod^{\prime}_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}{\prod_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2} \cdot \frac{\prod_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}{\prod^{\prime}_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}. И ∏′1 ≤ я < j ≤ п(я2π2−Дж2π2)∏1 ≤ я < j ≤ п(я2π2−Дж2π2)"="1∏м < к ≤ п(м2π2−к2π2)∏1 ≤ к < м(к2π2−м2π2),"="( − 1)м - 1∏′1 ≤ к ≤ п(м2π2−к2π2). ∏ 1 ≤ я < Дж ≤ н ′ ( я 2 π 2 − Дж 2 π 2 ) ∏ 1 ≤ я < Дж ≤ н ( я 2 π 2 − Дж 2 π 2 ) "=" 1 ∏ м < к ≤ н ( м 2 π 2 − к 2 π 2 ) ∏ 1 ≤ к < м ( к 2 π 2 − м 2 π 2 ) , "=" ( − 1 ) м − 1 ∏ 1 ≤ к ≤ н ′ ( м 2 π 2 − к 2 π 2 ) . \begin{align*} \frac{\prod^{\prime}_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)}{\prod_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)} & = \frac{1}{\prod_{m< k \le n}(m^2\pi^2-k^2\pi^2) \prod_{1 \le k<m}(k^2\pi^2-m^2\pi^2)}, \\ & = \frac{(-1)^{m-1}}{\prod_{1 \le k \le n}^{\prime}(m^2\pi^2-k^2\pi^2)}. \end{align*}Сходным образом, ∏1 ≤ я , j ≤ п(я2π2+Дж2π2)∏′1 ≤ я , j ≤ п(я2π2+Дж2π2)"="∏1 ≤ к ≤ п′(м2π2+к2π2)2⋅ 2м2π2. ∏ 1 ≤ я , Дж ≤ н ( я 2 π 2 + Дж 2 π 2 ) ∏ 1 ≤ я , Дж ≤ н ′ ( я 2 π 2 + Дж 2 π 2 ) "=" ∏ 1 ≤ к ≤ н ′ ( м 2 π 2 + к 2 π 2 ) 2 ⋅ 2 м 2 π 2 . \frac{\prod_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}{\prod^{\prime}_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}=\prod_{1 \le k \le n}^{\prime}(m^2\pi^2+k^2\pi^2)^2 \cdot 2m^2\pi^2.Продукт2м2π2 2 м 2 π 2 2m^2\pi^2выше появляется дляя = j = м я "=" Дж "=" м i=j=m. Следовательно, детгмде г"="[( − 1)м - 1∏′1 ≤ к ≤ п(м2π2−к2π2)]2⋅∏1 ≤ к ≤ п′(м2π2+к2π2)2⋅ 2м2π2,= 2м2π2∏1 ≤ к ≤ п′(м2+к2)2(м2−к2)2. дет г м дет г "=" [ ( − 1 ) м − 1 ∏ 1 ≤ к ≤ н ′ ( м 2 π 2 − к 2 π 2 ) ] 2 ⋅ ∏ 1 ≤ к ≤ н ′ ( м 2 π 2 + к 2 π 2 ) 2 ⋅ 2 м 2 π 2 , "=" 2 м 2 π 2 ∏ 1 ≤ к ≤ н ′ ( м 2 + к 2 ) 2 ( м 2 − к 2 ) 2 . \begin{align*} \frac{\det G_m}{\det G} & =\left[ \frac{(-1)^{m-1}}{\prod_{1 \le k \le n}^{\prime}(m^2\pi^2-k^2\pi^2)} \right]^2 \cdot \prod_{1 \le k \le n}^{\prime}(m^2\pi^2+k^2\pi^2)^2 \cdot 2m^2\pi^2,\\ & =2m^2\pi^2\prod_{1 \le k \le n}^{\prime}\frac{(m^2+k^2)^2}{(m^2-k^2)^2}. \end{align*} Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-04-03T01:55:24.393Z

• матрицы
• определитель
• Математика
• теория управления
• линейная алгебра
• численные методы