Определение основного состояния теории поля

С лагранжианом вроде:$\mathcal{L} = \partial_\mu \phi^\dagger \, \partial^\mu \phi - V(\phi) = \mathring{\phi^\dagger} \mathring{\phi} + \partial_i \phi^\dagger \, \partial^i\phi - V(\phi)$, гамильтониан:

$$\begin{equation*} \mathcal{H} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathring{\phi}} \mathring{\phi} + \mathring{\phi^\dagger} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathring{\phi^\dagger}} - \mathcal{L} \end{equation*}$$ который дает: $$\begin{equation*} \begin{array}{ll} \mathcal{H} & = \mathring{\phi^\dagger} \mathring{\phi} + \mathring{\phi^\dagger} \mathring{\phi} - ( \mathring{\phi^\dagger} \mathring{\phi} + \partial_i \phi^\dagger \, \partial^i\phi - V(\phi) ) \\ & = \mathring{\phi^\dagger} \mathring{\phi} - \partial_i \phi^\dagger \, \partial^i\phi + V(\phi)\\ & = \mathring{\phi^\dagger} \mathring{\phi} + \vec{\nabla} \phi^\dagger . \vec{\nabla} \phi + V(\phi) \\ & = |\mathring{\phi}|^2 + |\vec{\nabla} \phi|^2 + V(\phi) \end{array} \end{equation*}$$ Заметим, что первые 2 члена гамильтониана положительно определены и обращаются в нуль, когда $\phi$поле постоянное (не зависящее от пространства-времени). Следовательно, минимум $\mathcal{H}$достигается для постоянного поля $\phi_0$который минимизирует последние 2 члена, т.е. потенциал $V(\phi_0)$.

Подсказки:

1. Тогда потенциальный член$\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2$полуположительно определена и равна нулю только для$x$-независимая конфигурация$\phi$.

2. Если дополнить квадрат потенциала

   $$V(\phi)~=~\frac{\lambda}{4}\phi^4-\frac{\mu^2}{2}\phi^2~=~ \frac{\lambda}{4} \left(\phi^2-\frac{\mu^2}{\lambda}\right)^2-\frac{\mu^4}{4\lambda},$$ тогда становится ясно, что$\phi$-минимальные конфигурации для двух потенциалов$V(\phi)$и $$U(\phi)~=~\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+V(\phi)$$ одинаковы.