Доказательство того, что гравитационный потенциал — это работа, совершаемая объектом против силы тяжести, при увеличении KE и уменьшении PE.

Итак, вы оба не правы, но другой человек ошибается, в то время как у вас, похоже, есть более серьезные заблуждения.

Я знаю, что на самом деле это работа, совершаемая объектом по мере его движения к земле. Это согласуется с формулой W=Fd (гравитация совершала бы положительную работу, следовательно, сам объект совершал бы отрицательную работу)

Это не имеет смысла. Когда объект движется в гравитационном поле, он вообще не совершает никакой работы. Можно говорить только о работе, совершаемой силами , и единственная сила, присутствующая здесь, — это гравитация.

Путаница понятна. Мы обычно говорим быстро и свободно. Например, если я толкаю коробку, вы, вероятно, будете обсуждать здесь «работу, которую я делаю над коробкой». Но на самом деле более точным языком будет говорить о работе, которую совершает сила, которую я применяю.

Еще одно заблуждение, которое у вас, похоже, состоит в том, что нет необходимости выполнять сетевую работу. Это только в том случае, если мяч движется с постоянной скоростью$^*$. Но так как он "падает" в этом поле, то это не так.

Действительно, потенциальная энергия есть отрицательная работа, совершаемая консервативной силой. Технически более общее утверждение

$$W=-\Delta U$$ но поскольку вы спрашиваете о том, когда мы начинаем с бесконечности, где$U=0$в этом случае мы можем сказать для этого конкретного процесса $$W=-U$$

Но это вовсе не нужно, чтобы думать о знаке работы силы тяжести. Сила всегда действует в направлении смещения шарика. Поэтому работа силы тяжести всегда положительна.

Значит, в этом случае чистая работа не равна нулю? Разве работа не есть передача энергии? Если это так, то не должна ли чистая работа быть все время равной нулю (поскольку энергия должна откуда-то поступать)? Разве чистое изменение энергии объекта, падающего в гравитационное поле, не является положительным?

Утверждение, что работа — это передача энергии, вводит в заблуждение. На самом деле вы должны думать, что работа, совершаемая над объектом, изменяет его кинетическую энергию . Возможно, вам это знакомо:

$$W_{net}=\Delta K$$ Поэтому, когда гравитация действует на наш объект, когда он падает, он приобретает кинетическую энергию. Мы можем остановиться прямо здесь и даже не думать о потенциальной энергии. Если мы делаем это, мы рассматриваем гравитацию как внешнюю силу . Все, что мы видим, это наш объект и сила, действующая на него. Эта сила изменяет его кинетическую энергию.

Однако существуют особые силы, называемые консервативными силами , с которыми мы можем связать скалярную потенциальную энергию. Это означает (как я несколько объяснил выше), вместо прямого определения того, какую работу совершает консервативная сила, мы можем просто посмотреть на изменение этой потенциальной энергии. Если мы пойдем по этому пути, нас больше не будет волновать работа силы тяжести. Вместо этого мы смотрим на полную механическую энергию ($E=K+U$) и видим, что она не меняется в этом процессе.$\Delta E=0$не означает, что сетевая работа не выполняется.$\Delta K=0$означает, что сетевая работа не выполняется. Что$\Delta E=0$означает, что (при условии, что мы учли все консервативные силы) на наш шар не действуют никакие другие внешние силы.

Короче говоря: гравитация (единственная сила, действующая на наш объект) совершает положительную работу с нашим мячом, что увеличивает его кинетическую энергию ($W=\Delta K>0$). Если мы решим работать и с потенциальной энергией, то можем сказать, что$\Delta E = \Delta K+\Delta U=0$, или$\Delta K = -\Delta U = W_{grav}$Это обычное утверждение о «сохранении энергии» (без учета внешних/неконсервативных сил). Обратите внимание, как консервативные силы и$\Delta E$все еще будет$0$.

---

$^*$Это также может быть причиной вашего замешательства. Обычно вы слышите, как люди говорят, что потенциальная энергия — это «работа, совершаемая для перемещения массы из бесконечности в эту точку». Но это заявление не говорит, что это предположения. При этом рассматривается вопрос о том, приложу ли я к мячу силу, равную силе гравитации, но в противоположном направлении , когда он движется к интересующей точке из бесконечности. Следовательно, чистая работа, совершенная над мячом, на самом деле$0$. Поэтому я могу сказать, что работа, которую совершает моя сила, отрицательна по сравнению с работой силы тяжести. то есть

$$W_{me}=-W_{grav}=-(-\Delta U)=\Delta U$$ Добавьте, что это работа, на которую ссылается конкретное утверждение. Работа, которую моя сила выполняет в этом конкретном сценарии.

Мой ответ состоит из двух частей.
Первая часть пытается объяснить с точки зрения энергии и проделанной работы, что происходит, когда масса падает на Землю, а вторая часть представляет собой комментарий к утверждениям, сделанным ОП в вопросе.

Есть две вещи, которые вы должны четко понимать.

В таком обсуждении вы должны определить рассматриваемую систему.
В данном случае это объект или объект и Земля?
Это важно, потому что нужно уметь идентифицировать внутренние (для системы и входящие в пары третьего закона Ньютона) силы и внешние силы.

Существует огромная разница между гравитационным потенциалом в точке и потенциальной энергией системы объектов.
Гравитационный потенциал в точке — это работа, совершаемая внешней силой при переносе единицы массы из положения нулевого потенциала в точку.
Гравитационная потенциальная энергия системы объектов — это работа, совершаемая внешними силами по перемещению объектов из старых положений, где потенциальная энергия равна нулю, в их новые положения.

Рассмотрим объект массы$m$так как система и объект находятся в поле тяготения Земли, которое пока предполагается однородным и имеющим напряженность$g$.

Существует только одна внешняя сила, действующая на массу, которая представляет собой гравитационное притяжение Земли величиной$mg$и направлены вниз.

Если масса выходит из состояния покоя и падает на расстояние$h$чтобы достичь поверхности Земли, то работа гравитационного поля (внешней силы) над массой равна$+mgh$.
Это положительная величина, потому что внешняя сила и направление движения массы совпадают.
Теорема об энергии работы говорит вам, что эта внешняя работа, совершаемая над массой, приводит к изменению (увеличению) кинетической энергии массы.
Обратите внимание, что потенциальная энергия и потенциал не упоминались.

Если гравитационное поле непостоянно, то начальная величина силы, действующей на массу$m$является$\dfrac{GMm}{(R+h)^2}$где$M$это масса Земли и$R$его радиус.
Окончательная величина силы равна$\dfrac{GMm}{R^2}$поэтому для оценки проделанной работы необходимо выполнить интеграцию.

Работа, совершаемая внешней силой над массой, равна$GMm\left[ \dfrac 1 R -\dfrac {1}{R+h} \right] = \dfrac {GMm}{R}\left[ 1 - \left( 1+\frac hR \right )^{-1} \right] \approx m\, g\, h$если$R\gg h$и напряженность гравитационного поля$g =\dfrac{GM}{R^2}$.

---

Теперь это можно было бы сделать, используя идею о том, что масса$m$оказывается в гравитационном поле Земли и на расстоянии$r$от центра Земли потенциал$- \dfrac{GMm}{r}$приняв за ноль потенциала, когда$r$бесконечность.

Потенциальная энергия массы$m$изменения от$- \dfrac{GMm}{R+h}$к$- \dfrac{GMm}{r}$поэтому изменение потенциальной энергии массы равно$GMm\left[ \dfrac 1 R -\dfrac {1}{R+h} \right]$равна работе «внешней» силы, действующей на массу$m$.

Однако теперь у нас есть система из двух масс, Земли и массы, и гравитационные силы притяжения (их две - сила на массу, обусловленная Землей, и сила на Земле, обусловленная массой) являются внутренними силами, но поскольку$M\gg m$Земля не движется, учитывается только работа, совершаемая силой над массой Земли.
Именно масса и земная система обладают гравитационной потенциальной энергией.

Утверждение «о том, что работа, совершаемая внутренней гравитационной силой над массой, обусловленной Землей», можно выразить иначе: «масса (и Земля) система теряет гравитационную потенциальную энергию».

---

Обратите внимание, что я добавил слова и символы к некоторым утверждениям, обозначенным [квадратными скобками].

Если объект набирает кинетическую энергию по мере движения к Земле, он также теряет гравитационный потенциал [энергию] (поскольку потенциал [из-за Земли] уменьшается по мере того, как объект приближается к Земле).

Это утверждение верно.

Таким образом, чистое изменение энергии будет равно 0.

Это утверждение верно, если под энергией понимать сумму кинетической энергии и гравитационной потенциальной энергии.

Следовательно, формула -GM[m]/r может представлять только работу силы тяжести, а не сам объект.

Это утверждение является «правильным», если под гравитацией понимать «силу, действующую на массу вследствие гравитационного притяжения Земли», так как гравитационное поле массы не может притягивать саму массу, но знака «минус» не должно быть, так как гравитационное поле сила притяжения массы со стороны Земли направлена ​​в том же направлении, что и движение массы.

В противном случае гравитация вообще не выполняет никакой работы. Следовательно, гравитация совершает отрицательную работу, поскольку притягивает объект из бесконечности в любую точку r.

Это утверждение неверно, так как гравитационная сила, действующая на массу Земли, направлена ​​вниз, а масса движется вниз, поэтому работа, совершаемая этой гравитационной силой, должна быть положительной.

Одной из проблем с тем, что написано, является интерпретация слова гравитация .
Это сила или поле?

---

В моем классе есть человек, который считает, что формула гравитационного потенциала (-GM/r) представляет собой работу, совершаемую гравитацией для перемещения объекта из бесконечности в любую точку гравитационного поля.

-GM/r — гравитационный потенциал на расстоянии$r$от центра Земли и представляет собой работу, совершаемую внешней силой при перемещении единицы массы из бесконечности (нуля потенциала) на расстояние$r$от центра Земли.
Работа, совершаемая гравитационным притяжением на единицу массы из-за Земли (гравитация?), положительна, поскольку сила и движение массы имеют одно и то же направление.

Я знаю, что на самом деле это работа, совершаемая объектом по мере его движения к земле. Это согласуется с формулой W=Fd (гравитация будет совершать положительную работу, следовательно, отрицательную работу самого объекта) и тем фактом, что объект будет приобретать кинетическую энергию по мере своего движения к Земле, поэтому он выполняет отрицательную работу (поскольку работа представляет собой передачу энергии).

Мне было очень трудно разгадать это утверждение.

Я знаю, что на самом деле это работа, совершаемая объектом по мере его движения к земле.

Было бы лучше добавить слово , чтобы сделать это . . . . на самом деле [отрицательная] работа, выполненная объектом. . . .

Это согласуется с формулой W=Fd (гравитация совершала бы положительную работу, следовательно, сам объект совершал бы отрицательную работу)

Эта концепция отрицательной работы, совершаемой объектом, в данном случае на самом деле не нужна.

и тот факт, что объект будет набирать кинетическую энергию по мере движения к земле, значит, он выполняет отрицательную работу (поскольку работа представляет собой передачу энергии).

Здесь эта идея отрицательной работы, совершаемой объектом, продолжается для объяснения увеличения кинетической энергии объекта.

Вы можете рассматривать гравитационный потенциал как работу, проделанную полем для перемещения единичной точки массы из бесконечности в точку r. Энергия внутри гравитационного поля (поскольку поле консервативно) сохраняется, так что E=U+K является константой:

$E=-GMm/r+ \frac{1}{2}mv^2$

где U(r) — потенциальная гравитационная энергия:$U(r) =\frac{-GMm}{r}$

для$r \to \infty$,$U(r) \to 0$так что как$m$подходы$M$, его кинетическая энергия увеличивается, а его потенциальная энергия уменьшается