Основной вопрос о S-матрице, унитарности и теории эффективного поля

Рассмотрим рассеяние некоторых частиц в состоянии, коллективно обозначаемом как я в конечное состояние обозначим через ф . Затем амплитуда рассеяния, S-матрица, определяется как: С ф я ≡ ⟨ ф | е − я ЧАС т | я ⟩ . Затем мы разделяем S-матрицу на единицу и другую часть как С ф я знак равно дельта ф я + я Т ф я . Утверждение унитарности состоит в том, что С † С знак равно 1 что подразумевает, что 2 я м Т знак равно Т † Т что приводит к оптической теореме и тому подобному.

В теории поля мы вычисляем амплитуду, при которой мы придерживаемся только Т между двумя государствами. То есть мы обычно вычисляем амплитуды только там, где происходит что-то интересное.

При изучении эффективных теорий поля я часто вижу утверждения о нарушении унитарности, которые меня смущают. Например, если взять простую скалярную теорию поля с производным взаимодействием л знак равно 1 2 ( ∂ ф ) 2 + λ ( ∂ ф ) 4 / Λ 4 тогда мы могли бы вычислить 2 → 2 рассеяние, и мы найдем что-то вроде М 2 → 2 ∼ λ к 4 / Λ 4 .

Я читал и слышал, как люди говорят, что для к ≫ Λ , это приводит к нарушению унитарности. Я предполагаю, что это означает нарушение 2 я м Т знак равно Т † Т . Почему это так? Конечно, в этом режиме пертурбативное расширение нарушается, но почему это связано с унитарностью?

Если приведенный выше пример нарушает унитарность, то в чем разница между приведенным выше и случаем нормального непроизводного λ ф 4 взаимодействие и с λ ≫ 1 дело выше? Главное, похоже, в том, что М становится действительно большим в производном примере, но это также может произойти в λ ф 4 и я сомневаюсь, что эта последняя теория имеет какие-либо нарушения унитарности.

Можно сказать, что в 2 случаях мы не можем провести пертурбативную обработку, потому что (например) амплитуда вероятности может иметь модуль больше единицы. А это нарушило бы унитарность.
Итак, я вижу, что | М 2 → 2 | 2 знак равно | Т ф я | 2 больше единицы, но я не обязательно вижу, что 2 я м Т знак равно Т † Т нарушается. Очевидно ли, что это правда?
Как указал Любош Мотл, с уравнением Т † Т знак равно я ( Т − Т † ) , "морально" эквивалентен | г | 2 знак равно 2 я м ( г ) . Теперь, пишу г знак равно а + я б , это дает : а 2 + б 2 знак равно 2 б , так б > 0 . Уравнение можно записать ( а − б ) 2 + 2 б ( а − 1 ) знак равно 0 , так а < 1 . Уравнение также можно записать а 2 знак равно б ( 2 − б ) , так б < 2 . Наконец, у нас есть | г | знак равно а 2 + б 2 ≤ 5 . Так что если Т "имеет" "значения" "больше чем" 5 , есть противоречие.

Ответы (1)

Как сказал Тримок, вероятность рассеяния некоторых хорошо сфокусированных пакетов будет по-прежнему подобна поперечному сечению и подобна | М | 2 . Для бозонов нет зависящих от энергии дополнительных факторов, поэтому | М | 2 само должно быть меньше числа порядка единицы, чтобы вероятность оставалась меньше единицы.

Это связано с Т † Т знак равно я ( Т − Т † ) поскольку это уравнение влечет неравенства и для амплитуд рассеяния. Математическая суть этого утверждения состоит в том, что для комплексной переменной | г | 2 знак равно я м ( г ) есть только решения | г | меньше, чем определенное число порядка один (которое вы можете вычислить). При слишком больших значениях | г | , как миллион, ясно, что | г | 2 значительно больше, чем я м ( г ) и уравнение не может быть удовлетворено. Неравенство, которое | г | должно быть меньше чего-либо, следовательно, морально эквивалентно утверждению, что вероятность никогда не превышает единицы, и оба утверждения могут быть выведены из унитарности.

Поэтому растущая с энергией бозонов амплитуда рассеяния "два-два" означает слишком быстрый рост сечения, слишком быстрый рост вероятности некоторых пакетов, что нарушает условия унитарности из-за предыдущего абзаца. . Теории с производными взаимодействиями не работают при энергиях, не слишком отличающихся от массы Хиггса.

Но даже если вы имеете дело с поверхностно перенормируемыми взаимодействиями, некоторые сокращения необходимы для сохранения унитарности. Фактически, классический электрослабый лагранжиан может быть получен из этих условий «древовидной унитарности» в сочетании с основными экспериментальными данными по бета-распаду, см.

http://motls.blogspot.com/2012/07/why-there-had-to-be-higgs-boson.html?m=1

Ваш аргумент, что рост не имеет значения, потому что он похож на большой λ ≫ 1 не работает, потому что λ ≫ 1 невозможно по тем же причинам. Безразмерная связь, превышающая единицу, означает, что петлевые поправки на самом деле более важны, чем «ведущий» вклад на уровне дерева. Оказывается, теория с взаимодействием четвертой степени не допускает непротиворечивого определения для λ > λ 0 ∼ О ( 1 ) . Поэтому даже при низком значении λ которая растет с энергией из-за протекающей перенормировки, мы в конечном итоге сталкиваемся с «полюсом Ландау», где значение λ становится слишком сильным (и быстро бесконечным), и теория становится нечеткой. (Иная ситуация для калибровочных теорий, которые могут быть непротиворечивыми для очень больших грамм , из-за S-двойственности и т. д.).

Так что слишком большое значение амплитуды рассеяния всегда является проблемой.

Спасибо за ответ. Итак, для λ ф 4 В этом случае мне кажется, что ваши утверждения о плохом определении теории просто связаны с проблемами теории возмущений и, следовательно, они являются скорее практическими проблемами, чем фундаментальными, не так ли? Вы думаете, что даже в принципе невозможно решить λ ф 4 за λ ≫ 1 ? Я мог себе представить, что однажды люди придумают метод ее решения вне теории возмущений.
Точно так же, если взять какую-нибудь асимптотически свободную теорию, скажем, модель Гросса-Неве, то можно представить, что ниже некоторого энергетического масштаба Е муфты под рукой становятся больше, чем одна. Не могли бы вы тогда сказать, что такая теория нарушает унитарность ниже энергии Е ?
Уважаемый пользователь, как я уже сказал, теория на λ ≫ 1 вообще не существует. Непротиворечивой теории этой связи нет. Это отсутствие не является артефактом теории возмущений, это точный факт. Это как если бы вы спрашивали о людях 10-метрового роста и подозревали, что мы их не видим только потому, что у нас нет для них достаточно прочных очков. Нет, надо верить своим глазам (теория возмущений), 10-метровых людей на самом деле не существует.
Ваша формулировка совершенно неверна - кажется, вы не хотите понимать элементарные слова, которые я говорю - я думаю - совершенно ясно. Дело не в том, что мы не можем «решить» теорию в λ ≫ 1 . Квантовой теории вообще не существует , поэтому решать нечего. Это похоже на простые целые числа, меньшие, чем − 5 . Дело не в технологии, как их найти. Что бы вы ни делали, вы их не найдете. Напротив, ваша иллюзия, что теория должна существовать для любой лямбды, является неверным артефактом ваших пертурбативных или классических рассуждений!
Хорошо, а как насчет примера Гросс-Невё?
Кроме того, я удивлен, что кто-то может подумать, что калибровочные теории с большими связями хорошо определены из-за S-двойственности, но думаю, что λ ф 4 (или подобных теорий, это был просто простой пример) с большой связью даже в принципе не является четко определенным, и что не может быть никакой двойственности или другой техники, которая продемонстрировала бы работоспособность теории.
Модель Гросс-Невё — это модель в измерениях 1+1, где подсчет совершенно другой. Коэффициент члена четвертой степени имеет размерность массы, поэтому амплитуды уменьшаются с энергией, поэтому они не становятся бесконечными на любом уровне энергии. При габаритной муфте бессмысленно спрашивать, слишком большая муфта или слишком маленькая - это зависит от агрегатов. Формально большое сечение рассеяния получается при Е ≪ грамм 2 за исключением того, что при этих низких энергиях инфракрасные эффекты являются подлинными, и в этом случае существует ограничение, подобное КХД, которое делает рассеяние нефизическим.
Я прямо написал, что (особенно асимптотически свободные) 4D-калибровочные теории в порядке при любой связи, в некоторых случаях то, что делают эти теории, явно известно из S-дуальностей. Но скалярная связь четвертого порядка — это совсем другое дело. И нет, не может быть дуальности, которая сопоставила бы гипотетическую теорию четвертой степени большой лямбды с какой-то другой столь же простой, но слабо связанной КТП. Это действительно не трудно продемонстрировать. Калибровочные поля как бы нужны для S-дуальности — электромагнитной дуальности. Ф а б → * Ф а б например, работает только для spin-one.
Основной вопрос о S-матрице, унитарности и теории эффективного поля
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v