Должен ли классический лагранжиан или гамильтониан быть реальной функцией?

Любой физический лагранжиан или гамильтониан действителен. Могут быть модели, в которых$\cal{L}$и$\cal{H}$сложны, но в этих случаях «сложность» должна быть для математического удобства, а величины, рассчитанные в такой модели, необходимо будет преобразовать в реальные величины или просто не соответствовать физическим наблюдаемым. Одной из веских причин этого является то, что интеграл сложной функции, вообще говоря, также является сложным. Следовательно, сложный лагранжиан породил бы сложное действие, что не имеет никакого смысла. Даже если гамильтониан не соответствует энергии, комплексное значение$\cal{H}$приведет к сложному лагранжиану, поэтому проблема остается.

Я не уверен, что классический лагранжиан должен быть реальным. Причина в следующем. Если мы начнем с некоторого вещественного лагранжиана и добавим комплексную полную дивергенцию, мы получим комплексный лагранжиан, но этот конечный лагранжиан будет иметь те же уравнения движения, что и исходный лагранжиан, поэтому можно использовать этот конечный лагранжиан, если он более удобен для некоторых причин и получить правильные результаты.

Пример: заметим, что стандартный лагранжиан Дирака$\bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi$обычно сложна (и можно считать эту теорию классической до вторичного квантования), но можно добавить комплексную полную дивергенцию и сделать этот лагранжиан вещественным (симметричный лагранжиан$\frac{i}{2} (\bar\psi \gamma^\mu \partial_\mu \psi - (\partial_\mu \bar\psi) \gamma^\mu \psi ) - m \bar\psi \psi$).