Зачем нужно поперечное дельта-распределение для скобок Пуассона классических компонент электромагнитного поля?

Question

Зачем нужно поперечное дельта-распределение для скобок Пуассона классических компонент электромагнитного поля?

Физика
теория поля
скобки Пуассона
ограниченная динамика
гамильтоновский формализм
классическая электродинамика

МайклВ

Во время чтения конспектов лекций на немецком языке (Quanten Optik Дирка-Гуннара Уэлша) о квантовании электромагнитного поля я наткнулся на утверждение, которое не могу воспроизвести в деталях:

Обычно утверждается, что для (классических) сопряженных полей $\Phi$ и $\Pi$ , можно написать

Φ (Икс) "=" \int д^{3} {Икс}^{'} Φ ({Икс}^{'}) дельта (Икс - {Икс}^{'})

$\Phi(x) = \int d^3x' \Phi(x') \delta (x-x')$

Π (Икс) "=" \int д^{3} {Икс}^{'} Π ({Икс}^{'}) дельта (Икс - {Икс}^{'})

$\Pi(x) = \int d^3x' \Pi(x') \delta (x-x')$

так что

\begin{aligned} \frac{дельта Φ (Икс)}{дельта Φ ({Икс}^{'})} & "=" дельта (Икс - {Икс}^{'}) \\ \frac{дельта Φ (Икс)}{дельта Π ({Икс}^{'})} & "=" 0 \\ \frac{дельта Π (Икс)}{дельта Π ({Икс}^{'})} & "=" дельта (Икс - {Икс}^{'}) \\ \frac{дельта Π (Икс)}{дельта Φ ({Икс}^{'})} & "=" 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\delta \Phi(x)}{\delta \Phi(x')} &= \delta (x-x')\\ \frac{\delta \Phi(x)}{\delta \Pi(x')} &= 0\\ \frac{\delta \Pi(x)}{\delta \Pi(x')} &= \delta (x-x')\\ \frac{\delta \Pi(x)}{\delta \Phi(x')} &= 0 \end{align}$

Следовательно

{Φ (Икс), Π ({Икс}^{'})} "=" \int д^{3} {Икс}^{″} (\frac{дельта Φ (Икс)}{дельта Φ ({Икс}^{″})} \frac{дельта Π (Икс)}{дельта Π ({Икс}^{″})} - \frac{дельта Φ (Икс)}{дельта Π ({Икс}^{″})} \frac{дельта Π (Икс)}{дельта Φ ({Икс}^{″})}) "=" \dots "=" дельта (Икс - {Икс}^{'})

$\{ \Phi(x), \Pi(x') \} := \int d^3x'' \left(\frac{\delta \Phi(x)}{\delta \Phi(x'')} \frac{\delta \Pi(x)}{\delta \Pi(x'') } - \frac{\delta \Phi(x)}{\delta \Pi(x'')} \frac{\delta \Pi(x)}{\delta \Phi(x'') }\right) = \cdots = \delta(x-x')$

Сюда я могу следовать.

Но теперь они применяют формализм к классическому электромагнитному полю, имея $A_k$ и $\Pi_k = \epsilon_o \dot{A}_k$ как сопряженные поля по кулоновской калибровке $\vec \nabla \cdot \vec A = 0$ .

Они говорят (уравнения 1.81 и далее, переведенные с немецкого и сокращенные):

Хотя можно было бы предположить
${А_{к} (Икс), Π_{к^{'}} ({Икс}^{'})} "=" {дельта}_{к, к^{'}} \cdot дельта (Икс - {Икс}^{'})$ $\{ A_k(x), \Pi_{k'}(x') \} = \delta_{k,k'} \cdot \delta(x-x')$ это неправильно, потому что $A_{k, k} = 0$ , и, следовательно, вместо обычного дельта-распределения приходится применять так называемое поперечное дельта-распределение: ${А_{к} (Икс), Π_{к^{'}} ({Икс}^{'})} "=" {дельта}_{к, к^{'}}^{⊥} (Икс - {Икс}^{'}),$ $\{ A_k(x), \Pi_{k'}(x') \} = \delta_{k, k'}^{\bot}(x-x'),$ с явной формой последнего в терминах регулярного $\delta$ и дополнительный термин: ${дельта}_{к, к^{'}}^{⊥} (р) "=" {дельта}_{к, к^{'}} \cdot дельта (р) + \frac{1}{4 π} \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}_{к} \partial {Икс}_{к^{'}}} \frac{1}{| р |} .$ $\delta_{k, k'}^{\bot}(r) = \delta_{k,k'} \cdot \delta(r) + \frac{1}{4 \pi} \frac{\partial ^2 }{\partial x_k \partial x_{k'} }\frac{1}{|r|}.$

Однако это утверждение не мотивировано более подробно, и я не могу понять, почему самые общие рассуждения, приведенные выше, не верны в деталях ниже. Должна быть крошечная деталь, порождающая дополнительное усложнение. Как это можно математически вывести на основе физики электромагнитных полей?

Думаю, ответ связан с тем, что из-за выбора кулоновской калибровки $A_k$ не являются независимыми друг от друга. Действительно, используя некоторое векторное исчисление, после небольшого утомительного вычисления получается:

$A_i(x) = \int d^3x' \delta_{i, j}^{\bot}(x-x') A_j(x')$

С другой стороны, я все еще ожидал

$A_i(x) = \int d^3x' \delta(x-x') A_i(x')$

поскольку это второе тождество представляет собой простую тавтологию. Но это как-то противоречит первой форме, потому что функциональные производные явно разные... Я ближе к решению, но этот вопрос остается открытым...

Является ли вторая форма неправильной, потому что ограничение не задействовано?

СлучайныйПреобразование Фурье

Читателям и потенциальным ответам: я добавил тег constrained-dynamicsв организационных целях. Можно предположить, что OP не знаком с этой концепцией.

Qмеханик

Небольшой комментарий к сообщению (v5): Пожалуйста, рассмотрите возможность явного указания автора, заголовка, страницы и т. д. ссылки, чтобы можно было восстановить ссылку в случае ее порчи.

МайклВ

Уравнения 1.81 и далее на стр. 20, см. подсказку выше.

Джаред

Да, вы очень близки к ответу! Я предлагаю вам параграф 7.7 этой книги: Квантование поля Уолтера Грейнера, Иоахима Рейнхардта, Д.А. Бромли.

Джек

У вас есть какие-либо намеки на то, как показать, что

A_{i} (x) = \int d^{3} x^{'} δ_{i, j}^{⊥} (x - x^{'}) A_{j} (x^{'})

$A_i(x) = \int d^3x' \delta_{i, j}^{\bot}(x-x') A_j(x')$ ?

Ответы (1)

Зачем нужно поперечное дельта-распределение для скобок Пуассона классических компонент электромагнитного поля?

Читателям и потенциальным ответам: я добавил тег constrained-dynamicsв организационных целях. Можно предположить, что OP не знаком с этой концепцией.
Небольшой комментарий к сообщению (v5): Пожалуйста, рассмотрите возможность явного указания автора, заголовка, страницы и т. д. ссылки, чтобы можно было восстановить ссылку в случае ее порчи.
Уравнения 1.81 и далее на стр. 20, см. подсказку выше.
Да, вы очень близки к ответу! Я предлагаю вам параграф 7.7 этой книги: Квантование поля Уолтера Грейнера, Иоахима Рейнхардта, Д.А. Бромли.
У вас есть какие-либо намеки на то, как показать, что $A_i(x) = \int d^3x' \delta_{i, j}^{\bot}(x-x') A_j(x')$ ?

Али Серадж · Answer 1

Причина в том, что теория Максвелла включает калибровочную инвариантность, что подразумевает существование ограничений в системе. В гамильтоновой формулировке уравнение Гаусса $\phi_1\equiv\nabla\cdot \Pi=0$ является ограничением первого класса в системе. Теперь, наложив кулоновскую калибровку $\phi_2\equiv\nabla\cdot A=0$ , мы получаем два ограничения второго класса со следующей скобкой Пуассона

[ф_{1}, ф_{2}] "=" - \nabla^{2} {дельта}^{3} (Икс - {Икс}^{'}),

$[\phi_1,\phi_2]=-\nabla^2\delta^3(x-x'),$ которая может быть получена из основной скобки Пуассона

[A_{i} (x), Π_{j} (x^{'})] = δ_{i j} δ^{3} (x - x^{'})

$[A_i(x),\Pi_j(x')]=\delta_{ij}\delta^3(x-x')$ .

В этой системе с ограничениями коммутаторы должны вычисляться с использованием скобок Дирака вместо скобок Пуассона,

[А, Б]_{*} "=" [А, Б] - [А, ф_{а}] С^{а б} [ф_{б}, Б],

$[A,B]_*=[A,B]-[A,\phi_a]\,C^{ab}\,[\phi_b,B],$ где

C_{a b} \equiv [ϕ_{a}, ϕ_{b}]

$C_{ab}\equiv[\phi_a,\phi_b]$ и

C^{a b}

$C^{ab}$ с верхними индексами обозначает его обратный. В нашей проблеме

[А_{я}, Π_{Дж}]_{*} "=" [А_{я}, Π_{Дж}] - [А_{я}, ф_{1}] С^{12} [ф_{2}, Π_{Дж}]

$\begin{equation}\label{Dirac} [A_i,\Pi_j]_*=[A_i,\Pi_j]-[A_i,\phi_1]C^{12}[\phi_2,\Pi_j] \end{equation}$ Вычислить

C^{12}

$C^{12}$ , обратите внимание, что по определению

C^{- 1} \cdot C = 1

$C^{-1}\cdot C=\mathbf{1}$ или явно

\int д^{3} у С^{а с} (Икс - у) С_{с б} (у - {Икс}^{'}) "=" {дельта}_{б}^{а} {дельта}^{3} (Икс - {Икс}^{'}) .

$\int d^3y\, C^{ac}(x-y)\, C_{cb}(y-x')=\delta^a_b\delta^3(x-x').$ Специально для

a = b = 1

$a=b=1$ мы получаем

\begin{aligned} \int д^{3} у С^{12} (Икс - у) \nabla^{2} {дельта}^{3} (у - {Икс}^{'}) "=" {дельта}^{3} (Икс - {Икс}^{'}) \end{aligned}

$\begin{align} \int d^3y \,C^{12}(x-y)\,\nabla^2\delta^3(y-x')=\delta^3(x-x') \end{align}$ Интегрируя по частям, ставим производные на

C^{12}

$C^{12}$ и найти

\nabla^{2} C^{12} (x - y) = δ^{3} (x - x^{'})

$\nabla^2 C^{12}(x-y)=\delta^3(x-x')$ из чего мы делаем вывод, что

C^{12}

$C^{12}$ не что иное, как функция Грина

\begin{aligned} С^{12} (Икс - у) "=" - \frac{1}{4 π} \frac{1}{| Икс - {Икс}^{'} |} \end{aligned}

$\begin{align} C^{12}(x-y)=-\dfrac{1}{4\pi}\dfrac{1}{|x-x'|} \end{align}$ Возвращаясь к скобке Дирака, имеем

\begin{aligned} [А_{я}, ф_{1}] С^{12} [ф_{2}, Π_{Дж}] & "=" - \int д^{3} у д^{3} г [А_{я} (Икс), \nabla \cdot Π (у)] \frac{1}{4 π} \frac{1}{| у - г |} [\nabla \cdot А (у), Π_{Дж} ({Икс}^{'})] \\ "=" - \int д^{3} у д^{3} г \partial_{я} {дельта}^{3} (Икс - у) \frac{1}{4 π} \frac{1}{| у - г |} \partial_{Дж} {дельта}^{3} (г - {Икс}^{'}) \\ "=" - \frac{1}{4 π} \partial_{я} \partial_{Дж}^{'} \frac{1}{| Икс - {Икс}^{'} |} \end{aligned}

$\begin{align} [A_i,\phi_1]C^{12}[\phi_2,\Pi_j]&=-\int d^3y d^3z \,[A_i(x),\nabla\cdot \Pi(y)]\,\dfrac{1}{4\pi}\dfrac{1}{|y-z|}\,[\nabla\cdot A(y),\Pi_j(x')]\\ &=-\int d^3y d^3z \,\partial_i \delta^3(x-y)\,\dfrac{1}{4\pi}\dfrac{1}{|y-z|}\,\partial_j \delta^3(z-x')\\ &=-\dfrac{1}{4\pi}\partial_i\partial'_j\dfrac{1}{|x-x'|} \end{align}$ Поэтому

\begin{aligned} [А_{я} (Икс), Π_{Дж} ({Икс}^{'})]_{*} & "=" {дельта}_{я Дж} {дельта}^{3} (Икс - {Икс}^{'}) + \frac{1}{4 π} \partial_{я} \partial_{Дж}^{'} \frac{1}{| Икс - {Икс}^{'} |} . \end{aligned}

$\begin{align} [A_i(x),\Pi_j(x')]_*&=\delta_{ij}\delta^3(x-x')+\dfrac{1}{4\pi}\partial_i\partial'_j\dfrac{1}{|x-x'|}. \end{align}$ Надеюсь, это поможет.

Знаете ли вы, как правильно определить скобку Дирака или как ее получить. В книге Дирака он просто констатирует/определяет это. Может быть, для Дирака это и понятно, но я нахожу это чем-то вроде скачка.
Скобка Дирака действительно является прообразом скобки Пуассона на подмногообразии второго класса в фазовом пространстве. См. раздел 2.3 великой книги «Квантование калибровочных систем» Хенно и Тейтельбойма.

Зачем нужно поперечное дельта-распределение для скобок Пуассона классических компонент электромагнитного поля?

МайклВ

СлучайныйПреобразование Фурье

Qмеханик

МайклВ

Джаред

Джек

Ответы (1)

Али Серадж

лалала

Али Серадж

О связях первого класса и электродинамике

Основные ограничения для гамильтоновых теорий поля

Канонический формализм в координатах светового конуса

Неголономные связи в теории Дирака-Бергмана

Построение лагранжиана из гамильтониана для майорановских фермионов

Гамильтонова структура электродинамики Черна-Саймонса

Вопрос о выводе лагранжиана 1-го порядка в формализме Фаддеева-Жаккова

Значение симплектической формы в классической теории поля

Ограничения уравнений гамильтоновых полей

Пропущенные члены в гамильтониане после преобразования Лежандра лагранжиана