Основы квантовой механики: пространство продукта

Question

Основы квантовой механики: пространство продукта

Ниланджан

Рассмотрим связанный гармонический осциллятор, положение которого определяется выражением $x_1$ и $x_2$ . Скажите нормальные координаты $x_{\pm}={1\over\sqrt{2}} (x_1\pm x_2)$ , в котором гармонические осцилляторы расцепляются.

Когда вы квантоваете эту теорию, соответствующие операторы $\hat x_1,~ \hat x_2,~ \hat x_{\pm}$ . Операторы $\hat x_1,~\hat x_2$ коммутирует и

{\hat{Икс}}_{\pm} \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} ({\hat{Икс}}_{1} \otimes {\hat{1}}_{2} \pm {\hat{1}}_{1} \otimes {\hat{Икс}}_{2}),

$\hat x_{\pm}\equiv{1\over\sqrt{2}} (\hat x_1 \otimes \hat 1_2 \pm \hat 1_1\otimes \hat x_2),$ где

{\hat{1}}_{1}, {\hat{1}}_{2}

$\hat 1_1,~\hat 1_2$ тождественные операторы. Итак, этот оператор

{\hat{x}}_{\pm}

$\hat x_{\pm}$ действует в прямом продукционном базисе, заданном

| {Икс}_{1}, {Икс}_{2} ⟩ "=" | {Икс}_{1} ⟩ \otimes | {Икс}_{2} ⟩

$|x_1,x_2\rangle=|x_1\rangle \otimes |x_2\rangle$ где

| x_{1} ⟩

$|x_1\rangle$ и

| x_{2} ⟩

$|x_2\rangle$ являются собственными состояниями

{\hat{x}}_{1}

$\hat x_1$ и

{\hat{x}}_{2}

$\hat x_2$ соответственно.

Но государство $|x_1,x_2\rangle$ является собственным состоянием обоих $\hat x_{\pm}$ .

Как мы можем построить уникальные собственные состояния оператора $\hat x_{\pm}$ в основе $|x_1,x_2\rangle$ ? Или это невозможно?

пользователь10851

Придирки: "прямой продукт" (

\times

$\times$ )

\neq

$\neq$ "тензорное произведение" (

\otimes

$\otimes$ ) для векторных пространств или, в более общем случае, модулей . Фактически, для конечного числа пространств, которые «(со)произведены», прямое произведение эквивалентно «прямой сумме» (

\oplus

$\oplus$ ).

Ответы (2)

Основы квантовой механики: пространство продукта

Придирки: "прямой продукт" ( $\times$ ) $\neq$ "тензорное произведение" ( $\otimes$ ) для векторных пространств или, в более общем случае, модулей . Фактически, для конечного числа пространств, которые «(со)произведены», прямое произведение эквивалентно «прямой сумме» ( $\oplus$ ).

Малабарба · Answer 1

Оба $\hat{x}_{\pm}$ ездить с обоими $\hat{x}$ (продукт с идентичностью). Таким образом, они (как вы подтвердили) имеют общий набор собственных векторов.

В этом случае набор содержит любое произведение двух собственных состояний позиции. Вот почему любое государство $|x,y\rangle$ является собственным вектором всех четырех ваших операторов.

Поэтому я думаю, что окончательный ответ: нет, это невозможно.

джошфизика · Answer 2

Как вы заметили, государства $|x_1, x_2\rangle$ являются собственными состояниями $x_\pm$ ;

{\hat{Икс}}_{\pm} | {Икс}_{1}, {Икс}_{2} ⟩ "=" \frac{1}{\sqrt{2}} ({Икс}_{1} + {Икс}_{2}) | {Икс}_{1}, {Икс}_{2} ⟩

$\hat x_\pm |x_1, x_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(x_1 + x_2)|x_1,x_2\rangle$ Более того, эти состояния образуют ортонормированный базис (в смысле Дирака) для тензорного произведения гильбертова пространства. Отсюда следует, что каждый собственный вектор любого из этих операторов должен быть скалярным кратным одному из состояний

| x_{1}, x_{2} ⟩

$|x_1, x_2\rangle$ .

Чтобы убедиться в этом, предположим, что существует состояние $|\psi\rangle$ который не является скалярным кратным одного из векторов $|x_1, x_2\rangle$ , то существует какой-то другой $|x_1',x_2'\rangle$ и ненулевые комплексные числа $a$ и $b$ для которого

| ψ ⟩ "=" а | {Икс}_{1}, {Икс}_{2} ⟩ + б | {Икс}_{1}^{'}, {Икс}_{2}^{'} ⟩

$|\psi\rangle = a|x_1,x_2\rangle + b|x_1',x_2'\rangle$ и поэтому

{\hat{Икс}}_{\pm} | ψ ⟩ "=" \frac{1}{\sqrt{2}} (а ({Икс}_{1} + {Икс}_{2}) | {Икс}_{1}, {Икс}_{2} ⟩ + б ({Икс}_{1}^{'} + {Икс}_{2}^{'}) | {Икс}_{1}^{'}, {Икс}_{2}^{'} ⟩)

$\hat x_\pm|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(a(x_1 + x_2)|x_1,x_2\rangle + b(x_1'+x_2')|x_1',x_2'\rangle\right)$ это состояние не является собственным вектором

x_{\pm}

$x_{\pm}$ пока не

x_{1}^{'} + x_{2}^{'} = x_{1} + x_{2}

$x_1'+x_2' = x_1 + x_2$ .

Редактировать. В ответ на комментарий ниже следующее утверждение неверно:

в этом базисе оба собственных состояния x± совпадают. Таким образом, это подразумевает x^+=x^-

Два оператора, имеющие одновременный собственный базис, не означают, что они равны! Важно действие этих операторов на каждое из этих базовых состояний. В рассматриваемом случае собственные значения $\hat x_+$ и $\hat x_-$ различны, поэтому мы можем ясно видеть, что они являются различными операторами.

Я согласен с вами и ответом ранее Брюса Коннора.
@ user27470 Круто. Этот ответ не отвечает на вопрос? Может быть, я неправильно его истолковал?
Я согласен с вами и ответом ранее Брюса Коннора. Чтобы прояснить мой вопрос, давайте рассмотрим произведение гильбертова пространства, которое называется $H=H_1 \otimes H_2$ . Четко $\hat x_{\pm}$ являются операторами в гильбертовом пространстве $H$ . Одна из возможных основ $H$ является $|x_1,x_2>$ . Что меня смущает, так это то, что я думал, что каждое собственное состояние оператора в $H$ может быть выражена как линейная комбинация его базисных состояний, здесь одним из вариантов являются простые состояния $|x_1,x_2>$ . Но в этом базисе оба собственных состояния $x_{\pm}$ такие же. Таким образом, это подразумевает $\hat x_+=\hat x_-$ . Но мы знаем, что это не может быть правдой!
Первый ответ был ошибочным. Ты прав. Я согласен с вами, но это не ответ на мой вопрос
@ user27470 Смотрите мое редактирование.
Большое спасибо. Как-то я забыл, что оператор определяется своими собственными значениями и собственными векторами. Я согласен, что неправильно думать, что это определяется одним из них. Еще раз спасибо, так как эта глупая путаница причиняла мне боль в некоторых других вычислениях.

Основы квантовой механики: пространство продукта

Ниланджан

пользователь10851

Ответы (2)

Малабарба

джошфизика

Ниланджан

джошфизика

Ниланджан

Ниланджан

джошфизика

Ниланджан

джошфизика

Как использовать лестничные операторы?

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Гармонический осциллятор

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга

Создание состояния КМ определенного положения в фоковском пространстве

Почему операторы лестницы не ездят на работу?

Как получить оператор углового момента для трехмерного гармонического осциллятора?

Коммутатор положения и импульса