Упрощение суммы произведений коэффициентов Клебша-Гордана

Question

Упрощение суммы произведений коэффициентов Клебша-Гордана

Джавилле

Я пытаюсь упростить эту сумму, используя произведения четырех коэффициентов Клебша-Гордана:

\begin{aligned} \sum_{м_{1} м_{2} м_{3} К К^{'} М} (- 1)^{{Дж}_{1} + {Дж}_{2} + {Дж}_{3} + г + м_{1} + м_{2} + м_{3} - М} ⟨ {Дж}_{1} м_{1}; {Дж}_{2} м_{2} | Дж К ⟩ \\ \times ⟨ {Дж}_{2} - м_{2}; {Дж}_{3} м_{3} | {Дж}^{'} К^{'} ⟩ \times ⟨ {Дж}_{3} - м_{3}; {Дж}_{1} - м_{1} | г - М ⟩ \times ⟨ Дж К; {Дж}^{'} К^{'} | г М ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} &\sum_{m_1 m_2 m_3 K K' M} (-1)^{j_1+j_2+j_3+G+m_1+m_2+m_3-M} \langle j_1\ m_1; j_2\ m_2|J\ K\rangle \\ &\times \langle j_2\ -m_2;j_3\ m_3|J'\ K'\rangle \times \langle j_3\ -m_3;j_1\ -m_1|G\ -M\rangle \times \langle J\ K;J'\ K'|G\ M\rangle \end{align}$ где каждый из

j_{1}

$j_1$ ,

j_{2}

$j_2$ , и

j_{3}

$j_3$ являются полуцелыми числами, а суммы берутся по всем допустимым значениям для каждого параметра (

- j_{1}

$-j_1$ к

j_{1}

$j_1$ ,

- j_{2}

$-j_2$ к

j_{2}

$j_2$ , и т. д.). Я просмотрел несколько тождеств в списке Вольфрама здесь , но я не смог найти среди двухчленных тождеств, которые я мог бы применить, и я не знаком (и, к сожалению, не имею времени учиться в данный момент) с 6-j и 9-j символы используются в более сложных. Я ожидаю, что сумма будет хорошо упрощена (как и все остальные, с которыми я сталкивался в этом контексте до сих пор), но я не понимаю, как это сделать.

ZeroTheHero

если не будет сюрприза с фазами или с признаками ваших проекций (которые при беглом осмотре выглядят не совсем правильно, между прочим) очень, очень вероятно,

6 j

$6j$ символ.

Джавилле

Что заставляет вас говорить, что знаки выглядят неправильно?

Джавилле

Я несколько раз просматривал свои исходные расчеты, которые привели к этой сумме, и я уверен, что это правильные знаки. Ваша помощь очень ценится!

Эмилио Писанти

Если выражение ZeroTheHero не работает, было бы полезно иметь немного больше контекста о том, откуда это взялось, так как это часто может помочь указать правильное направление. Манипуляции Клебша-Гордана беспорядочны и неэффективны, но в конечном итоге вы просто занимаетесь геометрией, а забывание геометрии часто не помогает.

ZeroTheHero

@jawheele Пожалуйста, проверьте мое отредактированное выражение, так как у меня была общая проблема с фазой в моем предыдущем выражении.

Ответы (1)

Упрощение суммы произведений коэффициентов Клебша-Гордана

если не будет сюрприза с фазами или с признаками ваших проекций (которые при беглом осмотре выглядят не совсем правильно, между прочим) очень, очень вероятно, $6j$ символ.
Что заставляет вас говорить, что знаки выглядят неправильно?
Я несколько раз просматривал свои исходные расчеты, которые привели к этой сумме, и я уверен, что это правильные знаки. Ваша помощь очень ценится!
Если выражение ZeroTheHero не работает, было бы полезно иметь немного больше контекста о том, откуда это взялось, так как это часто может помочь указать правильное направление. Манипуляции Клебша-Гордана беспорядочны и неэффективны, но в конечном итоге вы просто занимаетесь геометрией, а забывание геометрии часто не помогает.
@jawheele Пожалуйста, проверьте мое отредактированное выражение, так как у меня была общая проблема с фазой в моем предыдущем выражении.

ZeroTheHero · Answer 1

Вы должны перепроверить, но суммирование, по-видимому, дано

\begin{matrix} (1) & (2 г + 1) \sqrt{(2 {Дж}^{'} + 1) (2 Дж + 1)} {\begin{array}{ccc} {Дж}_{1} & {Дж}_{2} & Дж \\ {Дж}^{'} & г & {Дж}_{3} \end{array}} \end{matrix}

$(2G+1)\sqrt{(2J'+1)(2J+1)} \left\{\begin{array}{ccc} j_1&j_2&J\\ J'&G&j_3 \end{array}\right\}\tag{1}$

Самый простой способ добраться туда — начать с определения $6j$ символ:

\begin{aligned} \sum_{{\bar{м}}_{1} {\bar{м}}_{2} {\bar{м}}_{3} {\bar{м}}_{12} {\bar{м}}_{23}} ⟨ {\bar{Дж}}_{12} {\bar{м}}_{12}; {\bar{Дж}}_{3} {\bar{м}}_{3} | \bar{Дж} \bar{м} ⟩ ⟨ {\bar{Дж}}_{1} {\bar{м}}_{1}; {\bar{Дж}}_{2} {\bar{м}}_{2} | {\bar{Дж}}_{12} {\bar{м}}_{12} ⟩, \\ \times ⟨ {\bar{Дж}}_{1} {\bar{м}}_{1}; {\bar{Дж}}_{23} {\bar{м}}_{23} | \bar{{Дж}^{'}} \bar{м^{'}} ⟩ ⟨ {\bar{Дж}}_{2} {\bar{м}}_{2}; {\bar{Дж}}_{3} {\bar{м}}_{3} | {\bar{Дж}}_{23} {\bar{м}}_{23} ⟩ \\ "=" {дельта}_{\bar{Дж} \bar{{Дж}^{'}}} (- 1)^{{\bar{Дж}}_{1} + \bar{{Дж}_{2}} + {\bar{Дж}}_{3} + \bar{Дж}} \sqrt{(2 {\bar{Дж}}_{12} + 1) (2 {\bar{Дж}}_{23} + 1)} {\begin{array}{ccc} {\bar{Дж}}_{1} & {\bar{Дж}}_{2} & {\bar{Дж}}_{12} \\ {\bar{Дж}}_{3} & \bar{Дж} & {\bar{Дж}}_{23} \end{array}} \end{aligned}

$\begin{align} &\sum_{\bar{m}_1\bar{m}_2\bar{m}_3\bar{m}_{12}\bar{m}_{23}} \langle \bar{j}_{12}\bar{m}_{12};\bar{j}_3\bar{m}_3\vert \bar{j}\bar{m}\rangle \langle \bar{j}_{1}\bar{m}_{1};\bar{j}_2\bar{m}_2\vert \bar{j}_{12}\bar{m}_{12}\rangle\, ,\\ &\qquad\qquad \times \langle \bar{j}_{1}\bar{m}_{1};\bar{j}_{23}\bar{m}_{23}\vert \bar{j'}\bar{m'}\rangle \langle \bar{j}_{2}\bar{m}_{2};\bar{j}_3\bar{m}_3\vert \bar{j}_{23}\bar{m}_{23}\rangle\\ &=\delta_{\bar{j}\bar{j'}} (-1)^{\bar{j}_1+\bar{j_2}+\bar{j}_3+\bar{j}} \sqrt{(2\bar{j}_{12}+1)(2\bar{j}_{23}+1)} \left\{\begin{array}{ccc} \bar{j}_1&\bar{j}_2&\bar{j}_{12}\\ \bar{j}_3&\bar{j}&\bar{j}_{23} \end{array}\right\} \end{align}$ Это уравнение (9.1.8) из Д.А. Варшаловича и др ., Квантовая теория углового момента (английское издание WorldScientific, 1988 г.; в русском издании часть материала находится в разных местах).

Есть некоторые CG, которые нужно манипулировать до правильной формы, но в основном идентификация

{\bar{Дж}}_{1} \to {Дж}_{1}, {\bar{Дж}}_{2} \to {Дж}_{2}, {\bar{Дж}}_{3} \to {Дж}^{'}, {\bar{Дж}}_{12} \to Дж, {\bar{Дж}}_{23} \to {Дж}_{3}, \bar{Дж} "=" \bar{{Дж}^{'}} \to г,

$\bar{j}_1\to j_1\, ,\quad \bar{j}_2\to j_2\, ,\quad \bar{j}_3\to J' \, ,\quad \bar{j}_{12}\to J\, ,\quad \bar{j}_{23}\to j_3\, ,\quad \bar{j}=\bar{j'}\to G\, ,$ Ваше выражение имеет окончательную сумму на

M

$M$ что обеспечивает дополнительную

(2 G + 1)

$(2G+1)$ множитель, дающий (1) как окончательное выражение.

Я проверил его примерно с полдюжиной значений, и, похоже, он работает, но, пожалуйста , проверьте это еще раз, так как я мог сделать ошибку при наборе текста.

Редактировать : после комментариев я дважды проверил и обнаружил, что мое исходное выражение имело неправильную общую фазу. Я считаю, что текущее уравнение (1) верно, т.е. общая фаза равна $+1$ . Я проверил результат для различных полуцелых и целых значений $j_1,j_2$ и $j_3$ используя встроенные в Mathematica подпрограммы ClebschGordan и SixJSymbol.

Привет ZTH, я проверил ваш результат с помощью Mathematica, и он работает нормально, за исключением знака, поэтому вы либо используете другое соглашение для $6j$ символ, или есть коэффициент $(-1)^\mathrm{something}$ где-то отсутствует (или я перепутал свой код ММА). Вы используете один и тот же деф. для $6j$ как в википедии?
@AccidentalFourierTransform Спасибо за проверку. У меня были проблемы со знаком, и я перепроверю позже. Я проверил с помощью Mma, как и вы, поэтому проблема не будет в определении $6j$ ; Я мог где-то потерять фазу, ошибиться в заменах, когда набирал Mma и т. д. Моя первоначальная фаза была $(-1)^{(2j_2+J')}$ и не совсем работал с примерами, которые я пробовал, и я каким-то образом нашел еще один фактор $(-1)^{J'}$ но я мог испортить.
@AccidentalFourierTransform Думаю, я исправил фазу в расчете. Смотрите мою правку.
@AccidentalFourierTransform спасибо, что проверили сами.

Упрощение суммы произведений коэффициентов Клебша-Гордана

Джавилле

ZeroTheHero

Джавилле

Джавилле

Эмилио Писанти

ZeroTheHero

Ответы (1)

ZeroTheHero

СлучайныйПреобразование Фурье

ZeroTheHero

ZeroTheHero

СлучайныйПреобразование Фурье

ZeroTheHero

Почему двухэлектронные системы обычно описывают в синглет-триплетном базисе?

Фиксация фазы коэффициентов Клебша-Гордана для jjjs меньше максимального значения

Почему sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}), повышающие и понижающие операторы J±J±J_{\pm}, гарантируют квантование собственных значений?

Понимание триплетных и синглетных состояний

О сложении угловых моментов и внутреннего произведения

Полный спиновый угловой момент системы двух частиц со спином 1/2

Правильное векторное пространство собственных наборов углового момента

Разве сложение углового момента не должно быть коммутативным?

«Обратные» коэффициенты Клебша-Гордана

Рекомендация книги по квантовой механике (с конкретными параметрами)