Отклонение стохастического процесса от начального известного значения от известной спектральной плотности

Question

Отклонение стохастического процесса от начального известного значения от известной спектральной плотности

шум
Физика
стохастические процессы

Даниэль Санк

Рассмотрим процесс $\phi$ с известной спектральной плотностью $S_\phi(\omega)$ . Предположим, во время $t=0$ процесс принимает известное значение $\phi(0)$ . Как можно вычислить зависящую от времени дисперсию, связанную с этим начальным значением? Другими словами, как вычислить $\langle (\phi(0) - \phi(\tau))^2 \rangle$ для $\tau > 0$ ?

Если ответ зависит не только от спектральной плотности, просто укажите, какие дополнительные предположения необходимы для четкого определения проблемы.

Этот вопрос мотивирован попыткой понять, насколько фаза микроволнового генератора будет дрейфовать за заданный промежуток времени, поэтому я думаю, что мы должны предположить, что процесс не является стационарным, то есть фаза может дрейфовать произвольно далеко от начального значения. время идет. Реальный основной вопрос здесь заключается в том, как перейти от рисунка 10 в этом техническом описании , где показана спектральная плотность фазового шума, к зависящему от времени дрейфу фазы генератора.

Ответы (1)

Отклонение стохастического процесса от начального известного значения от известной спектральной плотности

Даниэль Санк · Answer 1

Примечание об условностях: в этом ответе символ $S(\omega)$ относится к односторонней спектральной плотности. Другими словами, $\int_0^\infty S(\omega) d\omega/(2\pi)$ - полная мощность в процессе.

Легче работать с точки зрения спектральной плотности $\dot{\phi}$ , который мы обозначаем $S_\dot{\phi}(\omega)$ . Обратите внимание, что $S_\dot{\phi}(\omega) = \omega^2 S_\phi(\omega)$ . Мы можем написать конкретную реализацию процесса $\phi$ как

ф (т) "=" \int_{0}^{т} \dot{ф} (т) д т,

$\phi(\tau) = \int_0^\tau \dot{\phi}(t) \, dt \, ,$ так тогда

⟨ ф (т)^{2} ⟩ "=" \int_{0}^{т} \int_{0}^{т} ⟨ \dot{ф} (т^{'}) \dot{ф} (т^{″}) ⟩ д т^{'} д т^{″} .

$\langle \phi(\tau)^2 \rangle = \int_0^\tau \int_0^\tau \left \langle \dot{\phi}(t') \dot{\phi}(t'') \right \rangle \, dt' dt'' \, .$ Используя теорему Винера-Хинчина, мы можем заменить

⟨ \dot{ф} (т^{'}) \dot{ф} (т^{″}) ⟩ "=" \int_{0}^{\infty} С_{\dot{ф}} (ю) потому что (ю (т^{'} - т^{″})) \frac{д ю}{2 π},

$\left \langle \dot{\phi}(t') \dot{\phi}(t'') \right \rangle = \int_0^\infty S_\dot{\phi}(\omega) \cos \left(\omega \left( t' - t'' \right) \right) \frac{d\omega}{2\pi} \, ,$ давать

\begin{aligned} ⟨ ф (т)^{2} ⟩ & "=" \int_{0}^{\infty} С_{\dot{ф}} (ю) \frac{д ю}{2 π} \int_{0}^{т} \int_{0}^{т} потому что (ю (т^{'} - т^{″})) д т^{'} д т^{″} \\ "=" т^{2} \int_{0}^{\infty} С_{\dot{ф}} (ю) {(\frac{грех (ю т / 2)}{(ю т / 2)})}^{2} \frac{д ю}{2 π} \end{aligned}

$\begin{align} \left \langle \phi(\tau)^2 \right \rangle &=\int_0^\infty S_\dot{\phi}(\omega) \frac{d\omega}{2\pi} \int_0^\tau \int_0^\tau \cos \left( \omega \left( t' - t'' \right) \right) \, dt' dt'' \\ &= \tau^2 \int_0^\infty S_\dot{\phi}(\omega) \left( \frac{\sin \left( \omega \tau / 2 \right)}{\left( \omega \tau / 2 \right)} \right)^2 \frac{d \omega}{2\pi} \end{align}$ что мы и хотели найти, если предположим

ϕ (0) = 0

$\phi(0)=0$ .

Отклонение стохастического процесса от начального известного значения от известной спектральной плотности

Даниэль Санк

Ответы (1)

Даниэль Санк

Детерминированный и стохастический хаос

Подробное условие баланса для связанного уравнения Ланжевена

Что означает «усреднение по шуму» в книге Цванцига

Почему шум Джонсона является гауссовым процессом?

Значение 1dt√1dt\frac{1}{\sqrt{dt}} в стохастическом воздействии

Статистическая сумма для гауссовского белого шума

Проблемы с шумом в линии питания Atmega

Измерение шума на шинах постоянного тока с помощью активного пробника

Разница между «случайным движением» и «броуновским движением»?

Лучший способ генерировать белый шум, от постоянного тока до 1 МГц