Подробное условие баланса для связанного уравнения Ланжевена

Предполагать а и м являются действительными переменными и удовлетворяют следующим двум связанным уравнениям Ланжевена:

а ˙ "=" Ф а ( а , м ) + η а ( т ) ; м ˙ "=" Ф м ( а , м ) + η м ( т ) ;
где η а и η м белые шумы с силой Δ м и Δ а . В соответствии с этим условие детального баланса
Δ м ∂ м Ф а "=" Δ а ∂ а Ф м ,
но я понятия не имею, как это получается, если предположить, что это правильно.

Изменить: в ответ на запрос дополнительных ссылок.

Я прекрасно знаю, что если я , Дж два произвольных дискретных состояния системы, условие детального баланса будет

п ( я ) Вт ( я → Дж ) "=" п ( Дж ) Вт ( Дж → я ) ,
где Вт ( я → Дж ) вероятность перехода из состояния я к Дж . Непрерывная версия может быть получена в том же духе. Когда мы знаем вероятность нахождения системы в определенном состоянии и вероятности перехода, достаточно легко вывести подробное условие баланса. Однако не кажется тривиальным вывести детальное условие баланса из общего уравнения Ланжевена, и именно об этом я и прошу.

Редактировать 2 : два условия шума η а и η м являются некоррелированными.

Уравнение взято отсюда .

Комментарий к вопросу (v1): рассмотрите возможность добавления дополнительных ссылок, чтобы получать полезные и целенаправленные ответы.
@Qmechanic, я сказал, что знаю и чего не знаю. Что касается уравнения, то я не могу быть более конкретным, потому что цитируемая статья не накладывала никаких других ограничений на уравнение. У меня нет большого опыта работы с уравнением Ланжевена, поэтому я даже не знаю, какая информация жизненно важна. Надеюсь это поможет.

Ответы (2)

Определения

Определять Вт ( 2 | 1 ) как вероятность перехода в единицу времени из 1 к 2 . Это дает нам основное уравнение

∂ т п ( а , м ) "=" ∫ ∫ ( Вт ( а , м | а ′ , м ′ ) п ( а ′ , м ′ ) − Вт ( а ′ , м ′ | а , м ) п ( а , м ) ) г а ′ г м ′

Определите дальше, для удовольствия, Вт ( а , м | а ′ , м ′ ) "=" Вт ( а , м | а ′ , м ′ ) − дельта ( а − а ′ ) дельта ( м − м ′ ) ∫ ∫ Вт ( а ″ , м ″ | а , м ) г а ″ г м ″ . При прямой замене имеем ∂ т п "=" ∫ ∫ Вт ( а , м | а ′ м ′ ) п ( а ′ , м ′ ) г а ′ г м ′ , операцию, которую мы обозначаем через

∂ т п "=" Вт п

Теперь условие непрерывного детального баланса:

Вт ( а , м | а ′ , м ′ ) п экв. ( а ′ , м ′ ) "=" Вт ( а ′ , м ′ | а , м ) п экв. ( а , м )

где п экв. ( а , м ) - равновесное распределение вероятностей, определяемое уравнением Вт п экв. "=" 0 . Подробный баланс можно записать в виде

Вт ( а , м | а ′ , м ′ ) п экв. ( а , м ) "=" Вт ( а ′ , м ′ | а , м ) п экв. ( а ′ , м ′ )

Теперь мы можем умножить это на некоторую функцию ф ( а , м ) и интегрировать более а и м . Если мы требуем, чтобы отношение выполнялось для всех ф , имеем эквивалентную форму

∫ ∫ Вт ( а , м | а ′ , м ′ ) п экв. ( а , м ) ф ( а , м ) г а г м "=" ∫ ∫ Вт ( а ′ , м ′ | а , м ) п экв. ( а ′ , м ′ ) ф ( а , м ) г а г м , ∀ ф

Для симметрии проделаем то же самое с другой функцией г ( а ′ , м ′ ) :

∫ ∫ ∫ ∫ Вт ( а , м | а ′ , м ′ ) п экв. ( а , м ) ф ( а , м ) г ( а ′ , м ′ ) г а г м г а ′ г м ′ "=" ∫ ∫ ∫ ∫ Вт ( а ′ , м ′ | а , м ) п экв. ( а ′ , м ′ ) ф ( а , м ) г ( а ′ , м ′ ) г а г м г а ′ г м ′ , ∀ ф , г

Перестановка и метание Вт в смеси, мы имеем

∫ ∫ ф ( а , м )   ∫ ∫ Вт ( а , м | а ′ , м ′ ) г ( а ′ , м ′ ) г а ′ г м ′ п экв. ( а , м ) г а г м "=" ∫ ∫ ∫ ∫ Вт ( а ′ , м ′ | а , м ) ф ( а , м ) г а г м   г ( а ′ , м ′ ) п экв. ( а ′ , м ′ ) г а ′ г м ′ , ∀ ф , г

Теперь, используя приведенные выше определения, мы заключаем, что подробный баланс выполняется тогда и только тогда, когда

( Вт г , ф ) "=" ( г , Вт ф ) , ∀ ф , г

где внутренний продукт определяется как

( г , ф ) "=" ∫ ∫ г ( а , м ) ф ( а , м ) п экв. ( а , м ) г а г м

Вывод

Фу. Наконец, пришло время сделать сложную часть. Уравнение Фоккера-Планка, соответствующее вашей паре стохастических дифференциальных уравнений (при условии отсутствия корреляции между источниками шума):

∂ т п "=" − ∂ а ( Ф а п ) − ∂ м ( Ф м п ) + 1 2 о а 2 ∂ а 2 п + 1 2 о м 2 ∂ м 2 п

Это также удобно определяет оператор Вт .

Теперь стратегия состоит в том, чтобы принять ( Вт ф , г ) и интегрировать его по частям (только один раз), затем сделать то же самое с ( ф , Вт г ) . Наконец, мы собираемся приравнять выражения. Давайте сделаем эти шаги по одному:

( Вт ф , г ) "=" ∫ ∫ ( ( Ф а ф − о а 2 2 ∂ а ф ) ∂ а ( г п экв. ) + ( Ф м ф − о м 2 2 ∂ м ф ) ∂ м ( г п экв. ) ) г а г м

Выписывая производную, имеем внутри интеграла

Ф а ф ∂ а г п экв. − Ф а ф г ∂ а п экв. ( п экв. ) 2 − о а 2 ∂ а ф ∂ а г 2 п экв. + о а 2 ∂ а ф г ∂ а п экв. 2 ( п экв. ) 2 + Ф м ф ∂ м г п экв. − Ф м ф г ∂ м п экв. ( п экв. ) 2 − о м 2 ∂ м ф ∂ м г 2 п экв. + о м 2 ∂ м ф г ∂ м п экв. 2 ( п экв. ) 2

Вычитая из этого один раз интегрированный по частям ( ф , Вт г ) , все симметричные члены отбрасываются, и у нас остается (после умножения на п экв. ):

( Ф а − о а 2 ∂ а п экв. 2 п экв. ) ( ф ∂ а г − г ∂ а ф ) + ( Ф м − о м 2 ∂ м п экв. 2 п экв. ) ( ф ∂ м г − г ∂ м ф ) "=" 0

Обратите внимание, что слева у нас есть вещи, которые зависят только от а и на правильные вещи, которые зависят от м . Это означает, что каждый из них должен быть равен нулю независимо от другого. После нехитрых манипуляций получаем желаемый результат

о м 2 ∂ м Ф а "=" о а 2 ∂ а Ф м

Я никогда раньше не видел этого отношения и не нашел ссылки на него. Я немного удивлен, что это выглядит так просто.

Отлично сделано! У меня все еще есть один вопрос относительно предпоследнего уравнения: член на левой стороне плюсовой стороны является функцией обоих м и а , с Ф а является функцией обоих м и а . Почему этот термин зависит только от а ?
Возможно, мы можем утверждать, что, поскольку ф и г обе являются произвольными функциями а и м , ( ф ∂ а г − г ∂ а ф ) ≠ ( ф ∂ м г − г ∂ м ф ) ≠ 0 в общем. Следовательно, два фактора в предпоследнем уравнении должны быть равны нулю независимо друг от друга.
@wdg Полагаю, мне следовало быть более осторожным со своим языком (но опять же, это физика. SE, а не математика). Действительно, то, что я предлагаю, очень похоже на ваш аргумент: уравнения должны быть справедливы для всех ф , г и ф ∂ а г − г ∂ а ф не зависит от ф ∂ м г − г ∂ м ф . Последнее утверждение можно было бы обосновать, заметив, что первая часть уравнения теряет информацию о м после вывода, а другой на а , но это не очень строгое доказательство.

Что меня беспокоит, если я добавлю постоянный член Ф а "=" Ф а + Ф . Я явно вывожу систему из равновесия, и детальный баланс должен быть нарушен. Однако такой постоянный член не влияет на уравнение: о м 2 ∂ м Ф а "=" о а 2 ∂ а Ф м

Добро пожаловать в Physics.SE! Обратите внимание, что ответы предназначены для ответа на вопрос, а не для добавления дополнительных вопросов. Это можно опубликовать как комментарий к вопросу или задать новые вопросы, используя ссылку «Задать вопрос» вверху.
извините, я не могу комментировать, мне не хватает баллов
Да, пользователи с репутацией менее 50 не могут оставлять комментарии. Естественным предположением с этого момента будет то, что также неприемлемо пытаться обойти нашу систему, публикуя комментарий в качестве ответа.
извините за это, тогда я должен был задать новый вопрос? Тем не менее, мой вопрос является дополнительным вопросом. Также не имеет смысла начинать новый вопрос.
Вы всегда можете включить ссылку на этот вопрос в новый вопрос
Подробное условие баланса для связанного уравнения Ланжевена
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v