Я могу интерпретировать этот вопрос несколькими способами, поэтому мое основное внимание будет сосредоточено на автокорреляции процесса Орнштейна-Уленбека (OU). Так что же такое процесс OU и чем он отличается от обычной броуновской диффузии?

Броуновская диффузия

Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) для броуновской диффузии частицы можно записать в виде

$$\mathrm{d}x_t = \mathrm{d}W_t$$ куда $x$это смещение и $\mathrm{d}W$стохастический процесс такой, что мы интегрируем обе стороны, $x_T - x_0 = \int_0^T\mathrm{d}W_t = \mathcal{N}(0, T)$, распределение Гаусса со средним $0$и дисперсия $T$. Немного больше физических обозначений было бы $$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \eta$$ куда $\eta$является гауссовой случайной величиной.

Таким образом, вы можете видеть мысленным взором, что, продолжая добавлять эти небольшие случайные смещения к случайным направлениям, вы в конечном итоге получите диффузию. Другим способом описания диффузии, более распространенным среди физиков, является дифференциальное уравнение в частных производных (уравнение Фоккера-Планка), где вы записываете распределение вероятности частицы как функцию времени и положения. Еще один способ записать это как интеграл по путям Винера (преобразование между этими представлениями происходит через уравнение Фейнмана-Каца).

Процессы Орнштейна-Уленбека

Наконец, переходя к уравнению OU:

$$\mathrm{d}x_t = -x_t\mathrm{d}t + \mathrm{d}W_t$$ или если вы предпочитаете $$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -x + \eta$$ Как новый термин меняет поведение? Вместо того, чтобы рассеиваться до бесконечности, вы ограничиваете частицу линейной силой. Другими словами, у вас есть частица в гармоническом потенциале, и к положению добавлен некоторый шум. Решение состоит только в замене переменных: $x_t = e^{-t}y_t$, поэтому по лемме Ито имеем: $$e^{-t}\mathrm{d}y_t - e^{-t}y_t\mathrm{d}t = \mathrm{d}x_t = -e^{-t}y_t\mathrm{d}t + \mathrm{d}W_t$$ так $$y_T-y_0 = \int_0^Te^s\mathrm{d}W_s$$ то есть $$x_T = x_0e^{-T} + \int_0^Te^{(s-T)}\mathrm{d}W_s = \mathcal{N}\left(x_0e^{-T}, \frac{1}{2}(1-e^{-2T})\right)$$ где последний шаг просто следует из подстановки к определению ожидаемого значения и дисперсии.

Итак, что мы видим? Мы видим, что наше наблюдение$x_T$вовремя$T$зависит от того, где мы в последний раз видели$x$. Но что эта зависимость (автокорреляция) угасает экспоненциально. Действительно, через бесконечное количество времени имеем$x_T = \mathcal{N}(0,1)$. Обратите внимание, что мы не получили$x_T = \mathcal{N}(0,T)$, а скорее то, что наша гауссиана ограничена по размеру и будет достигать этого размера с экспоненциальной скоростью (по мере того, как эффект последнего наблюдения исчезает).

Шум Джонсона

Итак, у вас есть резистор последовательно с катушкой индуктивности при некотором напряжении, и вы пишете

$$L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = -RI + V$$ Выглядит знакомо? Предположим, что напряжение близко к нулю, но, поскольку сами носители заряда подвергаются диффузии, это напряжение на самом деле является стохастическим. Это процесс OU. Теперь предположим, что вы измеряете ток в момент времени 0, а затем снова в момент времени $T$. В каком смысле они гауссовы и независимы? Как обсуждалось в предыдущем разделе, если вы подождете достаточно долго, каждое измерение будет независимым друг от друга, и оба они будут брать одно и то же конечное распределение (в отличие от бесконечно расширяющегося распределения, которое мы видели в диффузии). Эта гауссовость и ее автокорреляция - это то, что, как я полагаю, вы искали. Наконец, давайте обратимся к тому, что, как мне кажется, вам не нужно, но, тем не менее, может показаться интересным.

Микроскопический шум от носителей заряда

Теперь почему$V$быть стохастическим, и почему он должен быть гауссовым? Это более длинная дискуссия, и я лишь очень качественно и кратко пройдусь по ней. Предположим, у нас есть некоторая простая система: частица в потенциале и большое количество связанных с ней гармонических осцилляторов (рекомендуется назвать их «тепловой баней»), так что мы можем записать гамильтониан (немного упрощенный из модели Калдейры Леггетт) как

$$\mathcal{H} = \frac{p^2}{2m} + V(q) + \sum_i \left(\frac{p_i^2}{2m_i} + \frac{1}{2}m_i\omega_i^2x_i^2\right) + q\sum_ix_i$$

Оказывается, это можно превратить в обобщенное уравнение Ланжевена вида

$$\frac{\mathrm{d}^2q}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}q}-\int_0^T\mathrm{d}t\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\xi(T-t) + R(t)$$ где ядро ​​памяти $\xi(T-t)$и «случайная сила» $R(t)$обе являются некоторыми функциями вещества в гамильтониане. Что примечательно, так это то, что случайная сила, хотя и детерминированная, ведет себя точно так же, как если бы она была «настоящей» гауссовой тепловой силой (теорема о флуктуации-диссипации, ее корреляция с другими величинами и т. д.). Итак, мы просто собираемся сказать, что это случайно, и таким образом интегрировать некоторые степени свободы, которые нам не нужны.

Это можно сделать более строго для практически произвольных систем, описывающих некоторую эволюцию фазового пространства, используя теорию Мори-Цванцига. Там вы берете проекционный оператор, который проецирует на подпространство, содержащее интересующие степени свободы, а другие степени свободы ведут себя как термальная ванна. Во многих книгах это представляется чем-то очень сложным, но на самом деле это просто матричная (или на самом деле операторная) алгебра.

Дело в том, что если у вас есть система и вы в совершенстве знаете все фазовое пространство, то если вы упустите некоторые детали, эти детали во многих отношениях будут действовать так, как если бы система вращалась в термальной ванне Гаусса.