Почему местоположение GPS не рассчитывается по метрике Шварцшильда?

GPS использует формулу распространения света в плоском пространстве для расчета расстояния от источника (спутника) до приемника (наблюдателя на Земле):

г знак равно с ⋅ Δ т
куда с - скорость света в вакууме Минковского, Δ т есть разница между временем испускания и поглощения сигнала (с поправкой на релятивистское замедление времени ) и г это евклидово расстояние. В эту формулу вводятся данные, полученные с 4 спутников, для определения местоположения приемника.

Мои вопросы : каково обоснование использования этой формулы? Разве расстояние не должно рассчитываться в настройках криволинейной геометрии, например, с использованием метрики Шварцшильда? Какие ошибки в использовании евклидовой версии г знак равно с ⋅ Δ т ?

NB: разница во времени Δ т содержит релятивистские поправки к временам . Однако мне непонятно, почему правильно использовать формулу плоского пространства (Минковского) для распространения света только со значением Δ т с поправкой на гравитацию.

Пожалуйста, постарайтесь быть максимально ясным и подкрепите свои утверждения расчетами/выводами.

ДОБАВЛЕНИЕ: Я нашел действительно хорошие статьи, в которых подробно обсуждаются все релятивистские детали и эффекты GPS-навигации в пространстве-времени. Это « Навигация в искривленном пространстве-времени » Томаса Б. Бахдера , « Синхронизация часов и навигация в непосредственной близости от Земли» и «Относительность GPS-измерений» .

Локальное пространство-время Земли даже не является schwarzchild, если вы хотите говорить о точности, из-за сжатой природы Земли существуют более высокие мультипольные моменты, которые необходимо учитывать для гравитационного поля. Вам может быть интересна эта статья ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC5253894
Это вопрос не только физики, но и электроники (я имею в виду именно электронику, а не программирование). Ранние приемники были разработаны для работы с использованием технологий 1980-х годов или ранее. Они должны были быть портативными, что могло означать установку на транспортном средстве, а не ручное, что ограничивало бы размер и источник питания, который можно было бы использовать. Все это влияет на рекомендуемые расчеты. Современные приемники могут вычислять положение, как им заблагорассудится, а геодезические могут включать в себя некоторые из того, что вы предлагаете, чтобы получить точность до миллиметра.

Ответы (2)

Общерелятивистские поправки слишком малы, чтобы иметь значение.

Метрика Шварцшильда имеет безразмерные поправки порядка г М / р с 2 . Здесь г гравитационная постоянная Ньютона, М масса Земли, р расстояние от центра Земли и с скорость света.

На поверхности Земли эти метрические поправки составляют примерно одну миллиардную часть; выше, вблизи спутников, они еще меньше. Символы Кристоффеля, определяющие геодезический путь сигнала, будут иметь поправки той же величины.

Сигналу требуется около 0,1 с, чтобы добраться до Земли со спутника, поэтому поправка ОТО в Δ т было бы в порядке 10 − 10 с и поправку ОТО в г составит примерно 3 см. Это ниже точности системы GPS.

Случай, когда спутник GPS находится прямо над головой, легко решить аналитически. Начните с метрики Шварцшильда

г с 2 знак равно − ( 1 − 2 М / р ) г т 2 + ( 1 − 2 М / р ) − 1 г р 2 + р 2 г θ 2 + р 2 грех 2 ⁡ θ г ф 2

в геометрических единицах, где г и с 1.

Сигнал следует нулевой геодезической, где г с знак равно 0 . Радиальная нулевая геодезическая удовлетворяет

( 1 − 2 М / р ) г т 2 знак равно ( 1 − 2 М / р ) − 1 г р 2

которое является дифференциальным уравнением, из которого мы можем получить т ( р ) как

т знак равно р 0 − р + 2 М журнал ⁡ р 0 − 2 М р − 2 М .

Начальные условия таковы, что при т знак равно 0 сигнал начинается в р знак равно р 0 , радиус орбиты спутника GPS над головой. Мы приняли входящее решение; как т увеличивается, р уменьшается и через какое-то время т знак равно т Е он попадает в приемник GPS на поверхности Земли в р знак равно р Е .

Для расчета т Е за секунды восстановить г и с получить

с т Е знак равно р 0 − р Е + р с журнал ⁡ р 0 − р с р Е − р с

куда р с знак равно 2 г М / с 2 – радиус Шварцшильда Земли, равный 9,0 мм.

Указав радиус, в котором вращаются спутники GPS, р 0 знак равно 20 , 000 км, а радиус Земли р Е знак равно 6400 км, находим т Е знак равно 0,045333333368 с. Когда мы игнорируем поправки ОТО, принимая р с быть 0, а не 9 мм, мы получаем т Е знак равно 0,045333333333 с. Таким образом, поправки GR замедляют сигнал на 34 пикосекунды и вызывают отклонение расчета расстояния до спутника на 1,0 см. Хорошее аналитическое приближение

Δ г знак равно р с журнал ⁡ р 0 р Е .

Исправление: ОП указал, что 20 000 км — это высота спутников GPS, а не радиус их орбиты. Таким образом, их орбитальный радиус составляет около 26 400 км. Пересчитывая числа, я получаю Δ т 43 пикосекунды и Δ г 1,3 см.

Для сравнения, ошибки на любом отдельном псевдодальности из-за разрешения сигнала, ионосферных эффектов, теплового шума, несовершенных часов на спутниках, несовершенных эфемерид и т. д. при хороших условиях составляют около 10 наносекунд, т. е. в ~30 раз больше.
Меня удивляет не то, что эффект незначителен, а то, насколько он близок к тому, чтобы быть значительным. Достойный коммерческий приемник GPS может иметь точность менее одного метра при хороших условиях, поэтому ошибка в 1 см из-за GR всего на два порядка ниже этой. Я легко могу представить будущую систему, подобную GPS, которая будет достаточно точной для того, чтобы эти поправки были необходимы.
Я был бы признателен, если бы «лейбл» принял мой ответ, так как я потратил на него много времени,
Спасибо за исчерпывающий ответ. Для меня довольно неожиданно, что пространство-время орбитального спутника можно рассматривать как пространство Минковского в таком крупном масштабе. Земная гравитация действительно слаба.
Небольшая поправка: орбитальный радиус спутников составляет (согласно вики) примерно 26600 км, поэтому 20000 км — это высота. Это, очевидно, не влияет ни на аргумент, ни на порядок вычисляемых величин.
Упс. Спасибо, что указали на то, что я использовал неправильный радиус спутника.
Я добавил исправление к своему ответу.
Спасибо, что приняли ответ, несмотря на мою ошибку.
Чтобы было ясно, эта конкретная общая релятивистская поправка слишком мала, чтобы иметь значение. Дрейф часов, который произошел бы без поправок общей теории относительности, гораздо значительнее.
Я согласен. Вот почему в моем первом предложении говорилось: «Общерелятивистские поправки слишком малы, чтобы иметь значение», а позже я объяснил, что «это ниже точности системы GPS». @hobbs уже упомянул «несовершенные часы» и четыре других источника неточности, превышающих поправки GR.
@IlmariKaronen Я полагаю, что эти системы GPS, вероятно, уже используют другие дополнения - типичный GPS сотового телефона предположительно имеет точность около 4,9 м под открытым небом (согласно gps.gov). При этом порядок не меняется
Общерелятивистская поправка к ходу часов спутников не связана с «несовершенными часами» — гравитационное замедление времени прямо из ОТО. Но это не то, о чем должны заботиться приемники GPS, потому что сигнал уже скорректирован для этого, когда он генерируется на спутнике.
@IlmariKaronen Системы GPS-приемника сантиметрового масштаба существуют, но в основном они работают на основе измерения сигнала в опорных точках, а затем отправляют коррекцию либо с ошибкой времени (псевдодальность), либо с ошибкой положения. Это известно как dGPS, и существует множество систем (WAAS/SBAS, LAAS/GLS, Starfire, SAIF и т. д.). Следовательно, нет необходимости делать специальную поправку для каждого отдельного возможного источника ошибки, вместо этого измеряя ошибку для каждого спутника или местоположения.

У меня есть несколько общих замечаний о принципах; Я не искал конкретные цифры, но они будут в источниках ниже.

Во-первых, см. статью Нила Эшби Living Reviews in Relativity « Relativity in the Global Positioning System » (открытый доступ) . Эшби — самое известное имя в этой области.

Во-вторых, хотя «точные решения», подобные Шварцшильду, чрезвычайно важны, такие красивые математические решения не всегда являются самыми практичными. Что касается Солнечной системы в целом, то она описывается не с помощью Шварцшильда и т. д., а вместо этого с помощью «постньютоновской теории», которая является своего рода промежуточным приближением между Ньютоном и Эйнштейном. Это официальная рекомендация Международного астрономического союза — см. Soffel et al (2003). В частности, для Земли гравитационное поле лучше всего моделировать как расширение по сферическим гармоникам. Например, для будущего китайского спутника обнаружения гравитационных волн это будет сделано именно так. См. учебник Poisson & Will.

Наконец, можно подумать, что, поскольку Земля вращается, метрика Керра может быть хорошим приближением, скажем, для р > 6500 к м . Однако внешность вращающегося тела таким образом не соответствует метрике Керра. См. Также главу 14 учебника Хартла под названием «Небольшое вращение» для промежуточного приближения между Шварцшильдом и Керром.

Почему местоположение GPS не рассчитывается по метрике Шварцшильда?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v