Вывод 000-компоненты 4-импульса с использованием релятивистского лагранжиана

Question

Вывод 000-компоненты 4-импульса с использованием релятивистского лагранжиана

a_point_particle

Мой вопрос возникает из книги Сасскинда по специальной теории относительности и классической теории поля. (стр. 102 уравнения с 3.29 по 3.30 и стр. 105 уравнения с 3.34 по 3.36.)

Релятивистский лагранжиан для свободной частицы определяется следующим уравнением.

\begin{matrix} (1) & л "=" - м с^{2} \sqrt{1 - \frac{в^{2}}{с^{2}}} "=" \frac{- м с^{2}}{{\dot{Икс}}^{0}}, \end{matrix}

$L = -mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} = \frac{-mc^2}{\dot{X}^0},\tag{1}$ где точка означает дифференцирование по собственному времени.

i^{t h}

$i^{th}$ составляющая импульса определяется выражением (

i = 1, 2, 3

$i=1, 2, 3$ ),

\begin{matrix} (2) & п_{я} "=" \frac{\partial л}{\partial \dot{{Икс}^{я}}} . \end{matrix}

$P_{i} = \frac{\partial L}{\partial \dot{X^{i}}}.\tag{2}$

Это определение прекрасно работает для трех пространственных компонентов релятивистского импульса и дает

\begin{matrix} (3) & п_{я} "=" м \dot{{Икс}^{я}} . \end{matrix}

$P_{i} = m\dot{X^{i}}.\tag{3}$

Однако для временной составляющей 4-импульса Сасскинд использует релятивистский гамильтониан для вывода

\begin{matrix} (4) & п_{0} "=" м \dot{{Икс}^{0}} . \end{matrix}

$P_{0} = m\dot{X^{0}}.\tag{4}$

Я знаю, что временная составляющая 4-импульса соответствует энергии, но я хотел бы знать, почему мы не можем использовать определение Лагранжа:

\begin{matrix} (5) & п_{0} "=" \frac{\partial л}{\partial \dot{{Икс}^{0}}} \end{matrix}

$P_{0} = \frac{\partial L}{\partial \dot{X^{0}}}\tag{5}$ здесь.

Я новичок в этом вопросе и был бы очень признателен за любую помощь или понимание.

Ответы (2)

Вывод 000-компоненты 4-импульса с использованием релятивистского лагранжиана

Qмеханик · Answer 1

Это хороший вопрос.

Обратите внимание прежде всего на то, что использование правильного времени непоследовательно. $\tau$ как параметр мировой линии (WL) $\lambda$ для принципа стационарного действия (PSA) . Дело в том, что параметр WL $\lambda$ никогда не меняется в PSA, но действие $S$ оказывается пропорциональным $\tau$ , которую мы пытаемся максимизировать. В частности, самое правое выражение $-m_0c^2\left(\frac{dx^{0}}{d\tau}\right)^{-1}$ в уравнении ОП. (1) нельзя использовать в качестве внешней формулы для лагранжиана $L$ , хотя правильно по стоимости. Та же проблема обсуждается в моих ответах Phys.SE здесь и здесь с использованием немного разных слов.
В исх. 1 параметр WL $\lambda=t\equiv \frac{x^0}{c}$ вместо этого лабораторное время, т.е. используется статический датчик, где $\dot{x}^0=c$ . (В этом ответе точка означает дифференцирование по отношению. $\lambda$ .) Концептуально это самый простой маршрут. Однако это разрушает явную (но не действительную) ковариацию Лоренца, поэтому производная $\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^0}$ не имеет смысла. Ссылка 1 поэтому получает 0-компоненту $p_0$ окольным путем, что эквивалентно моему ответу Phys.SE здесь .
Наконец, давайте вернемся к вопросу ОП: да, существует явная ковариантная формулировка Лоренца, где $p_0=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^0}$ , но он включает калибровочную симметрию и ограничения и концептуально более сложен, ср. например, мои ответы Phys.SE здесь и здесь .

Использованная литература:

Л. Сасскинд и А. Фридман, Специальная теория относительности и классическая теория поля: теоретический минимум, 2017; п. 102-106.

Аюш Радж · Answer 2

$X_i$ дифференцируется по собственному времени $X_0$ только. Итак, если вы рассматриваете производную от $X_0$ в отношении $X_0$ , это один, и, следовательно, $d(\dot{X_0})$ тождественно ноль! Однако, если вы хотите использовать лагранжиан только для вычисления энергии, вы можете обратиться к теореме Нётер и вычислить заряд Нётер, соответствующий переносу времени. Надеюсь, это поможет.

Вывод 000-компоненты 4-импульса с использованием релятивистского лагранжиана

a_point_particle

Ответы (2)

Qмеханик

Аюш Радж

Теорема Нётер и энергия в четырехимпульсе

Импульс и пространство-время

Релятивистские формулы для энергии и импульса?

Действительно ли уравнение энергии-импульса Эйнштейна E2=p2c2+m20c4E2=p2c2+m02c4E^2 = p^2c^2 + m_0^2c^4 справедливо только для свободных частиц?

Импульс от поглощения фотона? Есть ли увеличение массы покоя?

Оценка энергии, рассеиваемой демпфером / демпфером

Энергия сочетается со временем, а Импульс с пространством как в QM, так и в SR. Есть ли здесь какие-либо связи?

Определение энергии в специальной теории относительности

Специальная теория относительности: нахождение эйлера-лагранжа массивной частицы

Общая форма для кинетической энергии с учетом потенциала, не зависящего от скорости, такого, что H=EH=E\mathcal{H}=E