Ожидаемое значение зависящего от времени гамильтониана

Мой подход был бы таким: сначала определить временную эволюцию$\hat{x}(t)$и$\hat{p}(t)$. Для$\hat{x}$у вас есть

$$\frac{d}{dt}\hat{x}_H(t) = i[H_H,\hat{x}_H(t)] = \frac{i}{2m} [\hat{p}_H(t)^2,\hat{x}_H(t)] = \frac{\hat{p_H(t)}}{m}$$ и для $p$у вас есть (при условии $0\leq t \leq T$) $$\frac{d}{dt}\hat{p}_H(t) = i[H_H(t),\hat{p}_H(t)] = -m\omega_0^2 \hat{x}_H(t) + F_0\sin(\Omega t)$$ Это связанные дифференциальные уравнения, которые можно разделить, продифференцировав их еще раз по времени и выполнив замену. Например,

$$\frac{d^2}{dt^2} \hat{x}_H(t) = \frac{1}{m} \frac{d}{dt} \hat{p}_H = -\omega_0^2 \hat{x}_H(t)+\frac{F_0}{m}\sin(\Omega t)$$ где я заменил $\frac{d}{dt} \hat{p}_H(t)$по найденному ранее уравнению движения. Вы также можете получить такое уравнение для $\hat{p}_H(t)(t)$, который я оставляю для вас ..

Теперь эти уравнения можно решить с помощью вашего любимого метода, если вы зададите им подходящие граничные условия. Обратите внимание, что вам нужно только одно граничное условие для$x$и$p$(который$x_H(0)=\hat{x}_S$и$p_H(0)=\hat{p}_S$Это даст вам некоторое выражение для$\hat{x}_H(t)$и$\hat{p}_H(t)$с точки зрения$\hat{x}_S$и$\hat{p}_S$. Тогда гамильтониан Гейзенберга легко определяется подстановкой$\hat{x}_H(t)$и$\hat{p}_H(t)$.

Имея это выражение в руках, вы сможете найти$\langle H(t)\rangle$(обратите внимание, что вы должны рассмотреть случаи, когда$t<0$и$t>T$в отдельности).

РЕДАКТИРОВАТЬ: Доказательство моего утверждения ниже: на картине Шредингера гамильтониан

$$\hat H_S=\frac{\hat{p}_S^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega_0^2\hat{x}_S^2-\hat{x}_SF_0\sin(\Omega t)$$

а картина Гейзенберга дается выражением$H_H = U^\dagger(t) H_S U(t)$. Итак, если вы возьмете, например, первый член, вы получите:

$$U^\dagger(t) \frac{\hat{p}_S^2}{2m}U(t) =\frac{1}{2m} (U^\dagger(t) \hat{p}_S U^\dagger(t))(U(t)\hat{p}_SU(t)) =\frac{1}{2m} \hat{p}_H(t)^2$$

Вы можете сделать то же самое для других терминов. В конце концов, вы просто эффективно заменяете$p_S\rightarrow p_H(t)$и то же самое для$x$.

Несколько лет назад я пытался вычислить оператор эволюции в вашем случае. Я хотел показать, что такой гамильтониан никогда не имеет квантового состояния. Решение, которое я нашел, состоит в том, что такая модель имеет когерентное состояние только в бесконечное время. Я до сих пор не знаю о промежуточных временах, даже если приведенное ниже решение позволит вам рассчитать все, что вы хотите, в любое время. Метод возмущений можно найти у Ландау (по квантовой механике). Кроме того, приведенный ниже результат можно найти в книге Гардинера и Золлера о квантовом шуме, если я правильно помню. Наконец, самое старое исследование этого вопроса, которое я нашел, — это анализ Carruthers and Nieto (1965); они используют функцию Грина, чтобы показать, что в бесконечное время квантовый гармонический осциллятор описывается когерентным состоянием.

Я использовал так называемый алгебраический метод Ли (хороший обзор см. в Wei and Norman 1963; я полагаю, что мой рабочий лист является автономным), потому что это общий метод, который позволяет довольно легко вычислить оператор эволюции для простого гамильтониана. Этот метод не так известен

Прежде чем углубиться в вывод, позвольте мне дать ссылки (если их не хватает, дайте мне знать), которые я использовал

• Каррутерс, П., и Ньето, М. (1965). Когерентные состояния и вынужденный квантовый осциллятор. Американский журнал физики, 33 (7), 537. doi: 10.1119/1.1971895
• Вей, Дж., и Норман, Э. (1963). Алгебраическое решение Ли линейных дифференциальных уравнений. Журнал математической физики, 4 (4), 575. doi: 10.1063/1.1703993
• Ло, CF (1991). Генерация смещенных и сжатых числовых состояний с помощью зависящего от времени осциллятора с общим приводом. Physical Review A, 43 (1), 404–409. doi: 10.1103/PhysRevA.43.404

Теперь мой файл LaTeX (я не пытался редактировать его для настоящего дисплея, так что может быть так, что некоторые замечания совершенно глупы):

Затем предположим, что мы рассматриваем следующий гамильтониан

$$H=\hslash \omega \hat{a}^{+}\hat{a}+f\left( t\right) \hat{a}^{+}+f^{\ast }\left( t\right) \hat{a}$$ для любой заданной функции $f$и $f^{\ast }$в зависимости от времени и с $\hat{ a}$и $\hat{a}^{+}$аннигиляция и создание бозона на частоте $\omega$оператор режима. Унитарная временная эволюция этого гамильтониана может быть записана в соответствии с методом алгебраической резолюции Ли $H\left( t_{ \text{f}}\right) =\hat{U}^{+}\left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right) .H\left( t_{\text{i}}\right) .\hat{U}\left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right)$с пропагатором (см. \cite{Wei1963} для первой математической обработки и \cite{Lo1993} для примера квантового осциллятора): $$\hat{U}\left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right) =e^{-\mathbf{i}\hat{a}^{+} \hat{a}\omega \left( t_{\text{f}}-t_{\text{i}}\right) }e^{\hat{a}^{+}\alpha \left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right) }e^{-\hat{a}\alpha ^{\ast }\left( t_{ \text{f}},t_{\text{i}}\right) }e^{-\left\vert \alpha \left( t_{\text{f}},t_{ \text{i}}\right) \right\vert ^{2}/2}e^{\gamma \left( t_{\text{f}},t_{\text{i} }\right) }$$ с $$\alpha \left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right) =\int_{t_{\text{i}}}^{t_{ \text{f}}}f\left( t\right) e^{\mathbf{i}\omega t}\dfrac{dt}{\mathbf{i} \hslash }\text{ and }\gamma \left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right) =- \mathbf{i}\int_{t_{i}}^{t_{f}}\text{Im}\left\{ \alpha \left( \tau \right) \dfrac{\partial }{\partial \tau }\alpha ^{\ast }\left( \tau \right) \right\} d\tau$$ действуют как два параметра для унитарного преобразования.

Теперь обратите внимание на частный случай, когда оба$t_{\text{i}}$и$t_{\text{f}}$стремится к бесконечности,$\gamma \left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right)$средние значения равны нулю и:

$$\fbox{$\hat{U}\left( +\infty ,-\infty \right) =e^{\hat{a}^{+}\alpha }e^{- \hat{a}\alpha ^{\ast }}e^{-\left\vert \alpha \right\vert ^{2}/2}=e^{\hat{a} ^{+}\alpha -\hat{a}\alpha ^{\ast }}=\hat{D}\left( \alpha \right) $}$$ где $\alpha =f\left( \omega \right) /\mathbf{i}\hslash$это $\omega$компонент преобразования Фурье $f\left( t\right)$, деленная на размер квантового ящика $\hslash$. Таким образом, унитарная эволюция квантовой системы, движимой классической силой, соответствует оператору смещения когерентных состояний, найденному в \cite{Carruthers1965}. Затем за достаточно большое время взаимодействия одномодовый квантовый гармонический осциллятор переходит в квазиклассический осциллятор.

Доказательство с использованием алгебраического метода Ли

Фрист, перепиши гамильтониан$H$как

$$H\left( t\right) =a_{0}\hat{a}^{+}\hat{a}+a_{+}\left( t\right) \hat{a} ^{+}+a_{-}\left( t\right) \hat{a}$$ где $a_{0}$не зависит от времени. Затем заметим, что операторы $\hat{ 1}$, $\hat{a}^{+}\hat{a}$, $\hat{a}^{+}$и $\hat{a}$образуют замкнутую алгебру в смысле Ли, \emph{ie} относительно своих коммутаторов: $$\left[ \hat{a}^{+}\hat{a},\hat{a}^{+}\right] =\hat{a}^{+}~;~\left[ \hat{a} ^{+}\hat{a},\hat{a}\right] =-\hat{a}~;~\left[ \hat{a},\hat{a}^{+}\right] = \hat{1}$$ Затем заметим, что уравнение Шрёдингера $$H\left( t\right) \left\vert \Psi \left( t\right) \right\rangle =\mathbf{i} \hslash \dfrac{\partial }{\partial t}\left\vert \Psi \left( t\right) \right\rangle \Rightarrow \left\vert \Psi \left( t\right) \right\rangle = \hat{U}\left( t\right) \left\vert \Psi \left( 0\right) \right\rangle$$ принять унитарный оператор $\hat{U}\left( t\right)$как зависящее от времени решение с $\hat{U}\left( 0\right) =\hat{1}$. Таким образом, мы имеем следующее уравнение: $$H\left( t\right) \hat{U}\left( t\right) =\mathbf{i}\hslash \dfrac{\partial }{ \partial t}\hat{U}\left( t\right) \Rightarrow H \left(t\right)=\mathbf{i} \hslash\frac{\partial U}{\partial t}U^{+}\left(t\right)$$ соответствующее шредингеровскому. Второе выражение получается из первого умножением на $U^{+}$справа. Теперь, поскольку все операторы, встречающиеся в $H\left( t\right)$образуют алгебру Ли, общую форму $\hat{U}\left( t\right)$является : $$\hat{U}\left( t\right) =e^{\alpha _{0}\left( t\right) \hat{a}^{+}\hat{a} }e^{\alpha _{+}\left( t\right) \hat{a}^{+}}e^{\alpha _{-}\left( t\right) \hat{a}}e^{\alpha \left( t\right) \hat{1}}$$ где функции $\alpha \left( t\right)$, $\alpha _{0}\left( t\right)$, $\alpha _{+}\left( t\right)$и $\alpha _{-}\left( t\right)$надо найти. Будьте осторожны, эти $\alpha$не имеют ничего общего с $\alpha$определены в основном тексте. Для этого сначала вычислим $$\begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \hat{U}}{\partial t}\hat{U}^{+}&=&\left[ \dfrac{\partial \alpha _{0}}{\partial t}\hat{a}^{+}\hat{a}+\dfrac{\partial \alpha }{\partial t}\right] +\dfrac{\partial \alpha _{0}}{\partial t}e^{\alpha _{0}\left( t\right) \hat{a}^{+}\hat{a}}\hat{a}^{+}e^{-\alpha _{0}\left( t\right) \hat{a} ^{+}\hat{a}} \\ &&+\dfrac{\partial \alpha _{-}}{\partial t}e^{\alpha _{0}\left( t\right) \hat{a}^{+}\hat{a}}e^{\alpha _{+}\left( t\right) \hat{a}^{+}}\hat{a} e^{-\alpha _{+}\left( t\right) \hat{a}^{+}}e^{-\alpha _{0}\left( t\right) \hat{a}^{+}\hat{a}} \\ &=&\left[ \hat{a}^{+}\hat{a}\dfrac{\partial \alpha _{0}}{\partial t}+\dfrac{ \partial \alpha }{\partial t}+\hat{a}^{+}\dfrac{\partial \alpha _{+}}{ \partial t}e^{\alpha _{0}\left( t\right) }-\alpha _{+}\left( t\right) \dfrac{ \partial \alpha _{-}}{\partial t}+\hat{a}\dfrac{\partial \alpha _{-}}{ \partial t}e^{-\alpha _{0}\left( t\right) }\right] \end{eqnarray*}$$ с помощью следующих соотношений: $$e^{\lambda \hat{a}^{+}\hat{a}}\hat{a}=\hat{a}e^{\lambda \hat{a}^{+}\hat{a} }e^{-\lambda }~;~e^{\lambda \hat{a}^{+}\hat{a}}\hat{a}^{+}=\hat{a} ^{+}e^{\lambda \hat{a}^{+}\hat{a}}e^{\lambda }\text{ and }e^{\lambda \hat{a} ^{+}}\hat{a}=\left( \hat{a}-\lambda \right) e^{\lambda \hat{a}^{+}}$$ плюс определение унитарного оператора $UU^{+}=\hat{1}$. Точно так же мы можем использовать известную лемму Адамара, которая утверждает, что $$e^{\hat{S}}\hat{A}e^{-\hat{S}}=\hat{A}+\left[\hat{S},\hat{A}\right]+\frac{1}{ 2!}\left[\hat{S},\left[\hat{S},\hat{A}\right]\right]+\frac{1}{3!}\left[\hat{S },\left[\hat{S},\left[\hat{S},\hat{A}\right]\right]\right]+\ldots$$ и коммутационные соотношения. Обычно для простых групп этот метод работает быстрее, потому что ряд имеет только нулевые компоненты после нескольких итераций. Введение вышеуказанного $\left(\partial \hat{U} /\partial t\right)U^{+}$в уравнение Шрёдингера $H\left( t\right)=\mathbf{i}\hslash \left(\partial \hat{U}/\partial t\right)U^{+}$, у нас есть : $$\left\{ \begin{array}{l} \mathbf{i}\hslash \dot{\alpha}_{0}=a_{0} \\ \dot{\alpha}-\alpha _{+}\left( t\right) \dot{\alpha}_{-}=0 \\ \mathbf{i}\hslash \dot{\alpha}_{-}e^{-\alpha _{0}\left( t\right) }=a_{-}\left( t\right) \\ \mathbf{i}\hslash \dot{\alpha}_{+}e^{\alpha _{0}\left( t\right) }=a_{+}\left( t\right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \alpha _{0}=a_{0}\left( t-t_{\text{i}}\right) /\mathbf{i}\hslash \\ \\ \alpha _{-}\left( t\right) =\displaystyle\int_{t_{\text{i}}}^{t}a_{-}\left( \tau \right) e^{a_{0}\tau }\dfrac{d\tau }{\mathbf{i}\hslash } \\ \\ \alpha _{+}\left( t\right) =\displaystyle\int_{t_{\text{i}}}^{t}a_{+}\left( \tau \right) e^{-a_{0}\tau }\dfrac{d\tau }{\mathbf{i}\hslash } \end{array} \right.$$ где $\dot{\alpha}_{0}=\partial \alpha _{0}/\partial t$, $\dot{\alpha}=$... и приравнивая каждый оператор самому себе в каждой части уравнения Шрёдингера. Мы предполагали, что $t_{\text{i}}$начальный момент, где $\alpha _{0}\left( t=t_{\text{i}}\right) =0$, $\alpha \left( t_{\text{i}}\right) =0$, ... потому что оператор унитарной эволюции должен проверять $\hat{U}\left( t=0\right) =\hat{U}\left( t,t\right) =\hat{1}$, за один раз $\hat{U} \left( t\right)$или два раза $\hat{U}\left( t_{\text{i}},t_{\text{f} }\right)$унитарный оператор эволюции. Теперь найдем фазовый множитель $\alpha \left( \tau \right)$. В силу интегрирования по частям имеем: $$\begin{eqnarray*} \alpha \left( t\right) &=&\int_{t_{\text{i}}}^{t}\alpha _{+}\left( \tau \right) \dot{\alpha}_{-}\left( \tau \right) d\tau =\left[ \alpha _{+}\left( t\right) \alpha _{-}\left( t\right) \right] _{t_{\text{i}}}^{t}-\int_{t_{ \text{i}}}^{t}\dot{\alpha}_{+}\left( \tau \right) \alpha _{-}\left( \tau \right) d\tau \\ &=&\int_{t_{\text{i}}}^{t}\dfrac{\alpha _{+}\left( t\right) \dot{\alpha} _{-}\left( t\right) -\dot{\alpha}_{+}\left( t\right) \alpha _{-}\left( t\right) }{2}dt+\dfrac{1}{2}\left[ \alpha _{+}\left( t\right) \alpha _{-}\left( t\right) \right] _{t_{\text{i}}}^{t} \end{eqnarray*}$$ для более удобной формы. Если эта последняя форма может быть более сложной, чем предыдущие, в нашем случае ее легче вычислить, потому что $\alpha _{-}\left( t\right) =-\alpha _{+}^{\ast }\left( t\right)$(это верно до тех пор, пока выбранный гамильтониен является эрмитовым), так что: $$\alpha \left( t\right) =-\mathbf{i}\int_{t_{\text{i}}}^{t}\text{Im}\left\{ \alpha _{+}\left( \tau \right) \dot{\alpha}_{+}^{\ast }\left( \tau \right) \right\} d\tau -\dfrac{1}{2}\left[ \left\vert \alpha _{+}\left( \tau \right) \right\vert ^{2}\right] _{t_{\text{i}}}^{t}$$ которая является формой, используемой в основном тексте. Теперь, потому что $t_{\text{i}}$это начальный момент, $\alpha _{+}\left( t_{\text{i}}\right) =0$, и поэтому $\left[ \left\vert \alpha _{+}\left( \tau \right) \right\vert ^{2}\right] _{t_{\text{ i}}}^{t}=$ $\left\vert \alpha _{+}\left( t\right) \right\vert ^{2}$. Заметьте, что предыдущее выражение — это лишь одна из нескольких возможностей выражения $\alpha\left(t\right)$. У нас вообще $$\begin{eqnarray*} \alpha\left(t\right)&=&-\int\alpha_{+}d\alpha_{+}^{*}=-\int\alpha_{-}^{*}d \alpha_{-} \\ &=&-\int\alpha_{-}d\alpha_{-}^{*}+\left\vert\alpha_{-}\right\vert^{2}=-\int \alpha_{+}^{*}d\alpha_{-}+\left\vert\alpha_{+}\right\vert^{2} \end{eqnarray*}$$ для этого фазового члена.