Почему оператор эволюции во времени является унитарным?

Когда мы сдвигаем системное время с т "=" 0 к т "=" т , мы можем определить следующий оператор U ^ .

(1) U ^ "=" е − я ЧАС ^ т / ℏ .

Очень многие (насколько я читал, почти все) документы предполагают ЧАС ^ является гамильтоновым и ЧАС ^ "=" ЧАС ^ † чтобы доказать, что U ^ является унитарным.

Я не понимаю, почему мы можем сказать ЧАС ^ в (уравнение 1) является гамильтоновым. Я считаю ЧАС ^ в ( 1 ) в настоящее время является просто оператором, и нет разумного контекста для заключения ЧАС ^ здесь мы не знаем ничего, кроме гамильтониана.

Может ли кто-нибудь сказать мне причину?

@Qmechanic Спасибо, что рассказали мне о похожих постах. Я уже прочитал 1-й и 3-й посты, а затем разместил эту запись. Так что буду читать вторую.

Ответы (3)

1-я точка зрения:

Если принять уравнение Шредингера

я ℏ ∂ т ψ "=" ЧАС ^ ψ
с самосопряженным ЧАС ^ , то ваше уравнение 1 следует непосредственно и U ^ является унитарным.

2-я точка зрения:

Эволюция времени должна обладать следующими свойствами:

  • U ^ должны сохранять норму, чтобы сохранялась вероятность.
  • U ^ должны быть обратимыми, чтобы информация сохранялась.

Эти два свойства вместе означают, что U ^ является унитарным. Если добавить тот факт, что U ^ ( т ) должна быть группой, ваше уравнение 1 следует, и оно подразумевает уравнение Шредингера с самосопряженным ЧАС ^ .

Спасибо за ваш ответ. Является ли заявление " U ^ должно быть нормо-сохраняющим» тривиальным? В некоторых документах я видел, что «эволюция во времени должна сохранять вероятность», но я не убежден в этом утверждении. Я понимаю ∫ − ∞ ∞ | ψ ( Икс , т ) | 2 г Икс "=" 1 всегда, но не понимаю | ψ ( Икс , т ) | сам по себе сохраняет во все времена.
| ψ ( Икс , т ) | не является нормой, то интегральное выражение является нормой. Вы правы, что | ψ ( Икс , т ) | может измениться, когда оператор временной эволюции действует на волновую функцию, но не на норму.
Спасибо. Теперь я понимаю значение фразы «вероятность должна сохраняться». Спасибо тебе.
Нужно ли предполагать обратимость отдельно от сохранения нормы? Разве сохранение нормы (для всего гильбертова пространства) само по себе не гарантирует унитарность?
@tparker Нет, если гильбертово пространство бесконечномерно, см. math.stackexchange.com/a/900311/224757 . Технически нам нужны только сохранение нормы (изометрия) и сюръективность.
@Noiralef Я не вижу, чтобы сохранение информации предполагало сюръективность. Я имею в виду, U ^ † всегда является левым обратным для любой изометрии U ^ , т.е. U ^ † U ^ "=" я . Инверсия любой изометрии U ^ хорошо определен, по крайней мере, на своем диапазоне. Таким образом, любая информация, закодированная на ψ , можно получить из U ^ ψ действием U ^ † .

Предполагается, что волновая функция представляет собой амплитуду вероятности. В частности, это нормализованный вектор. В обозначениях Дирака это утверждение:

⟨ ψ | ψ ⟩ "=" 1.
Это можно сделать более конкретным с помощью:
о р г я н а р у   в е с т о р с   ∑ я ψ я ⋆ ψ я "=" 1 , ш а в е   ф ты н с т я о н с   ∫ ψ ⋆ ( Икс ) ψ ( Икс ) г ⁡ Икс "=" 1 ,   о р е в е н   ш а в е   ф ты н с т я о н а л с   ∫ [ Д ф ( Икс ) ] Ψ ⋆ [ ф ( Икс ) ] Ψ [ ф ( Икс ) ] "=" 1.
Не беспокойтесь, если последний вариант будет загадочным — он предназначен для тех случаев, когда вы имеете дело с квантовой теорией поля.

Важным моментом является то, что волновая функция ограничена существованием только в части векторного пространства; подобно тому, как единичные векторы ограничиваются лежащими на поверхности сферы. Преобразования, учитывающие это ограничение, называются унитарными . Таким образом, это ограничение означает, что каждое разрешенное преобразование | ψ ⟩ является унитарным. Вращения, пространственные перемещения, отражения и т. д. — все они должны соответствовать требованию, чтобы волновая функция оставалась нормализованной.

Остальное следует из требования, чтобы операция перевода времени представляла собой непрерывное изменение | ψ ⟩ и что квантовая механика в среднем отображается в классическую механику (см.: принцип соответствия ). Что означает, что ЧАС ^ , генератор временных трансляций в квантовой механике, должен соответствовать генератору временных трансляций в классической механике, гамильтониану.

Есть одно известное мне исключение из требования унитарности. То есть время размышлений. Отражение времени антиунитарно . Для получения подробной информации см. статью в Википедии о Т -симметрия .

Спасибо за ваш ответ. То, что вы написали для меня, непросто, но кажется содержательным. В частности, эта часть «должна соответствовать генератору временных трансляций в классической механике — гамильтониану». мне бы очень помог. Возможно, это не строго, но такие рассуждения легко принять начинающим QM, таким как я.

Интуитивный подход состоял бы в том, чтобы заметить, что сопряженное U † ( т ) такой же как U ( − т ) .

Таким образом, если U ( т ) | ψ ( 0 ) ⟩ "=" | ψ ( т ) ⟩

И U † ( т ) | ψ ( 0 ) ⟩ "=" | ψ ( − т ) ⟩

Затем U † ( т ) U ( т ) | ψ ( 0 ) ⟩ "=" | ψ ( 0 ) ⟩

Значение U † U "=" я , требование унитарного оператора.

Спасибо за ваш ответ. Я не понимаю интуитивный подход, который вы мне сказали. Я считаю А † "=" ( т А ) * . Я понятия не имею, почему сопряженный оператор эволюции во времени U ^ соответствует оператору обращения времени. (Возможно, я на более элементарном этапе. Я действительно новичок в QM.)
О, это супер просто - так как U ( т ) "=" е − я ЧАС т / ℏ , затем U † ( т ) "=" е + я ЧАС т / ℏ это то же самое, что и при использовании -t в качестве аргумента для U: U ( − т ) "=" е − я ЧАС ( − т ) / ℏ "=" е + я ЧАС т / ℏ "=" U † ( т )
Вот что я хочу спросить в этом посте. Я думаю, вы предполагаете ЧАС † "=" ЧАС . Я не знаю разумной причины, поэтому я разместил эту запись.
Это верно только по определению гамильтониана. Если вы поместите неэрмитов оператор вместо H, то вы правы, что U не будет унитарным.
Также стоит отметить: если вы поместите эрмитов оператор, который не является гамильтонианом, вместо H, он все равно может быть унитарным, но не будет оператором эволюции времени.
Благодаря вам и другим помощникам, теперь я понял то, что хотел узнать. Еще раз спасибо.
Почему оператор эволюции во времени является унитарным?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v