Означает ли эта цитата из моего учебника, что не все состояния являются суперпозициями?

Вы делаете правильный вывод. Не все физические состояния, доступные кубиту, являются чистыми суперпозициями, и он также может занимать состояния, известные как смешанные состояния , которые находятся на полпути между суперпозицией.$|0⟩$и$|1⟩$, и простая вероятностная смесь между ними.

Состояния формы

$$|\psi⟩=\alpha|0⟩+\beta|0⟩\tag1$$ известны как чистые состояния, и это (чистые) суперпозиции. При первом обучении квантовой механике мы фокусируемся на них, потому что (1) они заключают в себе то, чем квантовая механика отличается от классической физики, и (2) с ними гораздо проще иметь дело, чем со смешанными состояниями.

Штат$(1)$часто формулируется так, что система каким-то образом «и то, и другое» в$|0⟩$и$|1⟩$в то же время. Это наивное понимание не «неправильное», а только потому, что на самом деле оно мало что значит — что оно вообще означает? Первое, что приходит на ум, это то, что если вы на самом деле посмотрите на это, у него есть вероятность$p$быть в$|0⟩$и вероятность$1-p$быть в$|1⟩$.

Проблема этого объяснения в том, что, как описано, состояние не такое уж и волшебное. В классической физике вполне возможно создать коробку, в которой будут нули.$p$времени и те$1-p$время, просто подбрасывая монеты, прежде чем кто-то закроет ящики. С другой стороны, суперпозиция — это нечто большее. Немного перефразируя состояние, вы можете написать его как

$$|\psi⟩=\sqrt p|0⟩+e^{i\phi}\sqrt{1-p}|0⟩,\tag2$$ где явно указаны вероятности, но есть еще один ингредиент: относительная фаза между двумя компонентами, $\phi$. Если состояние действительно находится в суперпозиции, то есть эксперименты, которые вы можете провести между двумя компонентами, которые заставят два компонента интерферировать синусоидальным образом. $\phi$.

Один хороший способ думать о смешанных состояниях — это состояния суперпозиции, когда информация об этой фазе несколько неопределенна. Когда это происходит, интерференционная картина немного размывается, а полосы менее отчетливы, чем в чистом состоянии. В худшем случае у нас вообще нет информации о фазе, и ее можно$\phi=0$в одной реализации и$\phi=\pi$В следующий. В этом случае пики одной реализации будут на впадинах другой, и в среднем вы не увидите помех. Этот наихудший случай неотличим от классической вероятностной смеси.

Для корректного описания смешанных состояний нужно отойти от волновой функции как дескриптора состояния системы, и использовать матрицы плотности . Матрица плотности системы является эрмитовым положительным оператором$\hat\rho$который подчиняется$\operatorname{Tr}(\hat\rho)=1$, и что дает вам математическое ожидание любой наблюдаемой системы$\hat A$с помощью

$$\left\langle\hat A\right\rangle=\operatorname{Tr}\left(\hat\rho\hat A\right).$$ Для чистого состояния матрица плотности равна $\hat\rho=|\psi⟩⟨\psi|$. Для вероятностной смеси чистых состояний $|\psi_n\rangle$с вероятностями $p_n$(где $\sum_np_n=1$), матрица плотности $\hat \rho=\sum_n|\psi_n⟩⟨\psi_n|$. Наконец, самая общая матрица плотности матрицы плотности кубита, в $\{|0⟩,|1⟩\}$основе, дается $$\hat\rho=\begin{pmatrix}p&ce^{-i\phi}\sqrt{p(1-p)}\\ ce^{i\phi}\sqrt{p(1-p)}&1-p\end{pmatrix}$$ Здесь $p$и $\phi$остались прежними, и у вас появилась новая переменная: степень когерентности , $c$, что равно $1$для чистого состояния, $0$для классической вероятностной смеси и вообще где-то между ними.

Каждый кубит можно представить как суперпозицию базисных состояний.$|0\rangle$и$|1\rangle$.

Если вы хотите работать с состояниями, описываемыми более чем одним кубитом, вам нужно будет работать в другом гильбертовом пространстве. Например, предположим, что мы называем пространство в 1 кубит$\mathcal{H}$тогда 2-кубитное гильбертово пространство будет$\mathcal{H} \otimes \mathcal{H}$. Государства в этом новом пространстве не будут суперпозициями$|0\rangle$и$|1\rangle$; а скорее суперпозиции$|00\rangle$,$|10\rangle$,$|01\rangle$, и$|11\rangle$.