В чем качественное различие между квантовой суперпозицией и смешанными состояниями? [дубликат]

Чистое состояние — это линейная комбинация базисных состояний.$|\psi\rangle = \sum_k c_k |b_k\rangle$. Чистое состояние имеет единицу 2-нормы; чистые состояния заботятся о квадрате веса$\sum_k |c_k|^2=1$. Это означает, что веса являются амплитудами .

Смешанное состояние представляет собой линейную комбинацию присоединенных квадратов чистых состояний.$\rho = \sum_k p_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k|$. Смешанное состояние имеет единичную 1-норму; смешанные состояния заботятся о линейном весе$\sum_k p_k = 1$. Это означает, что веса являются вероятностями .

Эквивалентно, смешанное состояние — это вероятностное распределение чистых состояний. Если вы не уверены, в каком чистом состоянии находится система, ваша способность прогнозировать описывается смешанным состоянием.

Точно так же смешанное состояние — это то, что вы получаете, маргинализируя чистое состояние. Если у вас нет доступа к некоторым кубитам, с которыми запуталась ваша система, ваша способность к предсказанию описывается смешанным состоянием.

Вы можете представить чистое состояние как смешанное состояние с одним чистым состоянием со 100% вероятностью (т. е. как матрицу плотности с одним ненулевым собственным значением, равным 1).

Вы можете представить смешанное состояние как чистое состояние, добавив дополнительные кубиты (т.е. очистку ).

Поскольку одно может представлять другое, люди расходятся во мнениях относительно того, что является фундаментальным — смешанные состояния или чистые состояния. К счастью, математике все равно.

Я попытаюсь добавить довольно интуитивный взгляд на разницу между чистыми и смешанными состояниями.

Возьмем сначала простой пример одиночной частицы со спином 1/2. Его чистые состояния всегда можно записать как суперпозицию состояний со спином вверх и вниз, измеренных в каком-то конкретном направлении.$z$. То есть пишем$|\psi\rangle = a |\uparrow_z\rangle + b|\downarrow_z\rangle$и интерпретировать$|a|^2$,$|b|^2$как вероятности, которые вращают измерения вдоль направления$z$выход либо$|\uparrow_z\rangle$или$|\downarrow_z\rangle$. Однако, если$|\psi\rangle$является чистым состоянием, мы всегда можем найти определенное направление в 3D-пространстве, скажем${\vec u}$, так что измерения спина вдоль${\vec u}$всегда уступать с$100\%$уверенность в результате$|\uparrow_{\vec u}\rangle$(или$|\downarrow_{\vec u}\rangle$, в зависимости от выбранной ориентации). Для частицы со спином 1/2 это реальный физический смысл и рабочее определение чистого состояния. Напротив, смешанные состояния$\hat \rho$состояния, для которых нет такого направления${\vec u}$может быть найден. Или, если хотите, для смешанного состояния статистика измерений спина вдоль любого направления${\vec u}$всегда будет отображать ненулевые вероятности с ненулевыми неопределенностями для обоих $|\uparrow_{\vec u}\rangle$и$|\downarrow_{\vec u}\rangle$.

Примечание. Исторически интерпретация спина 1/2 была основана на концепциях поляризации и когерентности электромагнитных волн. По полной аналогии, когерентное электромагнитное излучение характеризуется идеальной поляризацией вдоль некоторого направления, в то время как для некогерентного излучения нельзя определить резкое направление поляризации.

Обобщим теперь на произвольную квантовую систему. Сначала вспомните, что:

1) Соответствующее гильбертово пространство всегда порождается как общий собственный базис чистого состояния$\lbrace |\psi_\lambda\rangle \rbrace$полного набора наблюдаемых$\lbrace {\hat O}_1, {\hat O}_2, \dots {\hat O}_k\rbrace$. Для частицы со спином 1/2 полный набор был минимальным и состоял из одной наблюдаемой${\hat \sigma}_z$или${\hat \sigma}_{\vec u}$(оставляя в стороне полный спин как избыточный в этом случае), но в целом мы предполагаем, что (конечное) число независимых наблюдаемых равно некоторому$k > 1$.

2) На самом деле существует континуум различных полных наборов наблюдаемых, которые взаимно связаны посредством унитарных преобразований. То есть, если$\lbrace {\hat O}_1, {\hat O}_2, \dots {\hat O}_k\rbrace$является полным набором с собственным базисом$\lbrace |\psi_\lambda\rangle \rbrace$и${\hat U}$является унитарным преобразованием,${\hat U}{\hat U}^\dagger = {\hat U}^\dagger{\hat U} = {\hat I}$, затем$\lbrace {\hat U}{\hat O}_1{\hat U}^\dagger, {\hat U}{\hat O}_2{\hat U}^\dagger, \dots {\hat U}{\hat O}_k{\hat U}^\dagger\rbrace$также является полным набором и определяет собственный базис$\lbrace {\hat U} |\psi_\lambda\rangle \rbrace$.

3) Чистые состояния могут отображаться друг в друга с помощью унитарных преобразований. То есть, если$|\psi\rangle$,$|\phi\rangle$два различных состояния, то существует некоторое унитарное$\hat U$такой, что$|\psi\rangle = {\hat U} |\phi\rangle$.

Как следствие всего этого следует, что любое чистое состояние$|\psi\rangle$может быть отображено унитарным преобразованием$\hat U$в собственное состояние$|\psi_\lambda\rangle$полного набора наблюдаемых$\lbrace {\hat O}_1, {\hat O}_2, \dots {\hat O}_k\rbrace$, то есть,$|\psi\rangle = {\hat U} |\psi_\lambda\rangle$. Но тогда также следует, что$|\psi\rangle$обязательно является собственным состоянием полного набора$\lbrace {\hat {\bar O}}_1 = {\hat U}{\hat O}_1{\hat U}^\dagger, {\hat {\bar O}}_2 = {\hat U}{\hat O}_2{\hat U}^\dagger, \dots {\hat {\bar O}}_k = {\hat U}{\hat O}_k{\hat U}^\dagger\rbrace$.

Другими словами, для любого чистого состояния$|\psi\rangle$существует полный набор наблюдаемых$\lbrace {\hat {\bar O}}_1, {\hat {\bar O}}_2, \dots, {\hat {\bar O}}_k\rbrace$который возвращается с$100\%$достоверность набор средних значений с исчезающими стандартными отклонениями,$\langle \Delta {\hat {\bar O}}_j^2 \rangle = 0$,$j = 1, 2, \dots, k$. Тогда это можно принять как операциональное определение чистых состояний.

В том же духе, как и прежде, смешанные состояния$\hat \rho$тогда являются те, для которых не существует полного набора, такого что$\langle \Delta{\hat {\bar O}}_j^2 \rangle = 0$для всех$j = 1, 2, \dots, k$.

Все остальное, что уже было указано, остается в силе, как обычно.