Перенормировка в теории струн

Здесь есть две отдельные проблемы:

Мировой лист против пространства-времени :

Теория струн является обобщением квантовой теории поля, но теория пертурбативных струн сформулирована на языке, предшествующем КТП. В методе собственного времени Швингера, или «первом» квантовании, вы строите теорию свободного поля, суммируя траектории частиц (мировые линии) с помощью соответствующего действия. Эта сумма представляет собой интеграл по траекториям, который формально представляет собой «квантование» теории мировых линий. Затем вы включаете взаимодействия пертурбативно, заставляя мировые линии этих частиц образовывать более сложные графы, которые являются не чем иным, как графами Фейнмана соответствующей теории поля. Это особенно громоздкий способ получить обычную теорию возмущений КТП. На этом несколько запутанном языке порядок в$\hbar$задается топологией графа и не имеет ничего общего с процессом «квантования» теории мировых линий.

(К сожалению, физики склонны называть процесс решения любого дифференциального уравнения пертурбативным «квантованием», даже если он не имеет ничего общего с квантовой механикой, решением уравнения Шрёдингера для зависимости амплитуд вероятности от времени или чем-то подобным. Плохая терминология — это нечто. к этому делу нужно привыкнуть.)

При обобщении на теорию струн у нас нет эквивалента «второй» квантованной теории поля. Вместо этого мы обобщаем мировые линии на мировые листы, другими словами, точечные частицы — на струны. Сумма по топологически тривиальным мировым листам дает классический, или свободный (т.е. ведущий порядок в$\hbar$) теория струн, а квантовые поправки (или взаимодействия) происходят из-за включения мировых листов более сложной топологии. При изучении струнной теории возмущений важно не путать пространство-время и рабочий лист.

Чтобы получить свободную теорию струн, вам нужно «сначала» проквантовать двумерную теорию поля, что даст вам струнное обобщение теории свободного поля (с бесконечным числом полей). Теория свободного двумерного поля (соответствующая струнам в плоском пространстве-времени) достаточно сложна, чтобы требовать какой-то простой перенормировки (например, нормального упорядочения или «конформного» нормального упорядочения Полчинского). Более сложные теории мирового листа (соответствующие струнам в искривленном пространстве-времени) требуют полноценной перенормировки, обычно выполняемой пертурбативно и в теории мирового листа. Обратите внимание, что в этом случае параметром расширения является натяжение струны, которое не имеет ничего общего с$\hbar$, так как вы все еще смотрите на классические струны, которые достаточно сложны в искривленном пространстве-времени, чтобы их можно было решить только пертурбативно в$\alpha’$.

Отмеченная вами неоднозначность (например, константа нормального порядка) присуща перенормировке, и обычно для фиксации этих констант необходимо наложить дополнительные физические ограничения. В этом случае неоднозначность фиксируется (когда это возможно, например, при правой критической размерности) требованием сохранения симметрий Вейля и диффеоморфизм-инвариантности мирового листа. Эти симметрии имеют решающее значение для пространственно-временной интерпретации теории мирового листа. Оказывается, условия непротиворечивости пространства-времени (отсутствие состояний с отрицательной нормой) подразумевают, что двумерная теория поля должна быть конформной (или инвариантной по Вейлю, если формулировать ее на искривленном мировом листе).

Перенормировка в пространстве-времени

Как следует из первой части, это не имеет отношения к данному обсуждению. Тем не менее я хочу отметить, что перенормировка не имеет ничего общего с короткодействующей структурой теории. Современное понимание состоит в том, что эффективно организовать расчеты КТП по шкале длины (или импульса), и что перенормировка является техническим способом достижения этого. Например, вы захотите перенормировать свою теорию, чтобы упростить вычисления, даже если она ограничена UV. Помимо этого, вероятно, QFT за второй семестр должен прояснить это.

Во-первых, позвольте мне сказать, что это не имеет ничего общего с перенормировкой, как в «Ренормализационной группе». Проблема гораздо проще и касается квантования классической теории.

Всякий раз, когда вы квантоваете теорию, карта$quantization:\{\text{classical observables}\}\rightarrow\{\text{quantum observables}\}$плохо определен. С другой стороны, карта в другом направлении четко определена (если вы следите за$\hbar$), а квантование состоит в выборе некоторой квантовой наблюдаемой (т. е. прообраза последней карты) в качестве интересующей нас классической наблюдаемой.

Проблема, которую вы упомянули, заключается в определении кванта$L_0$. Классически это

Теперь давайте найдем одно из возможных квантований. Это (опять же)

Обратите внимание, что вторая сумма тайно конечна (вот почему нам нравится нормальное упорядочение): все наши состояния имеют конечное число частиц, поэтому оператор определен корректно. Разные прообразы соответствуют разным вариантам порядка операторов, поэтому мы можем сдвинуть$L_0\rightarrow L_0-a$для некоторых (конечных)$a$. Если вы хотите следить за$\hbar$($\alpha'$), то соответствующий оператор$L_0-\alpha' a$(возможно, с коэффициентом 2 в зависимости от нормализации).

Наконец, вы хотите, чтобы ваша квантовая теория была хорошей (без призраков), что накладывает некоторые ограничения на$a$и размерность.

Редактировать: как указывает Моше, у меня есть$\hbar$а также$\alpha'$неправильный. Правильный параметр квантования здесь$\alpha'$. Смотрите его ответ для различия.