Перевод координаты xy точки из локальной системы координат в глобальную систему координат

Брать$x,y$глобальные координаты,$x^\prime,y^\prime$местные координаты,$(h,k)$глобальные координаты источника локальной системы, и$\varphi$угол против часовой стрелки от горизонтали глобальной системы ($x$) в "горизонтальную" ($x^\prime$).

Что же нужно, чтобы преобразовать из$(x^\prime,y^\prime)$к$(x,y)$заключается в 1. смещении начала координат; и 2. повернуть на$\varphi$по часовой стрелке. Эту последовательность проще всего выразить в матрично-векторной записи:

$$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\,\varphi&\sin\,\varphi\\-\sin\,\varphi&\cos\,\varphi\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{pmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix}\right)$$

или явно,

$$\begin{align*}x&=(x^\prime-h)\cos\,\varphi+(y^\prime-k)\sin\,\varphi\\y&=-(x^\prime-h)\sin\,\varphi+(y^\prime-k)\cos\,\varphi\end{align*}$$