Столкновение шара диаметром с наклонной стенкой/плоскостью в 2D системе координат

Допустим, у нас есть точечный шар внутри прямоугольника (поля). Мяч будет перемещаться из своей начальной точки в какую-то другую точку (цель$T$), но если его путь пересекает сторону прямоугольника, то он отскакивает назад, и так продолжается до тех пор, пока общая длина его пути не станет такой же, как расстояние от начала до цели.

Предположим, что поле — это просто квадрат$[0,1]\times[0,1]$. Если отразить цель о левую или нижнюю стену, цель просто изменит знак своей$x$или$y$координировать. Если он отразится о правую или верхнюю стену, его координаты переключатся на$2-x$или$2-y$.

Отсюда простой алгоритм нахождения конечного положения шара: если координата$x$или$y$целевого значения отрицательно, замените его на$-x$или$-y$; если координата$x$или$y$цели больше, чем$1$, замените его на$2-x$или$2-y$; остановить, когда обе координаты находятся в диапазоне$0\le x,y\le1$.

Давайте сделаем пример. Если цель находится на$(3.3,-0.8)$у вас есть:

$$(3.3,-0.8)\to(-1.3,0.8)\to(1.3,0.8)\to(0.7,0.8)$$ последняя точка является конечным положением мяча. Обратите внимание, что фактический путь зависит от начальной точки (см. рисунок ниже), а конечная точка — нет, и ее можно найти с помощью приведенного выше алгоритма.

Если поле представляет собой обычный прямоугольник$ABCD$, то мы можем переназначить его на единичный квадрат следующим образом. Выберите одну из вершин в качестве источника (например,$A$) и взять в качестве координатных векторов

$$\mathbf{u}=B-A,\quad \mathbf{v}=D-A.$$ Теперь вы можете записать относительное положение цели как$T-A=\alpha \mathbf{u}+\beta \mathbf{v}$и применим приведенный выше алгоритм к координатам$(\alpha,\beta)$. На самом деле, вы можете проверить это с помощью этих новых координат$A=(0,0)$,$B=(1,0)$и так далее. Как только окончательная позиция найдена, мы можем вернуться из$(\alpha,\beta)$координаты настоящие.

Пример. Если мы возьмем ситуацию, описанную на вашей картинке , мы имеем, например:

$$\mathbf{u}=(100,100),\quad \mathbf{v}=(-50,50)$$ и$T-A=(20,10)=0.15\mathbf{u}-0.1\mathbf{v}$. Следовательно$(\alpha,\beta)$координаты цели есть$(0.15,-0.1)$и приведенный выше алгоритм останавливается только после одного шага: $$(0.15,-0.1)\to(0.15,0.1).$$ The $(\alpha,\beta)$координаты конечного положения$F$тогда$(0.15,0.1)$и мы можем перевести их в реальные координаты следующим образом: $$F=0.15\mathbf{u}+0.1\mathbf{v}+A=(10,20)+A=(30,30).$$

РЕДАКТИРОВАТЬ.

Если мяч имеет радиус$r>0$, то мы можем восстановить описанный выше случай (где мы предполагали$r=0$, т.е. точечный шар) путем сжатия исходного прямоугольника$ABCD$в другой прямоугольник$A'B'C'D'$, лежащий внутри$ABCD$и имеющие свои стороны на расстоянии$r$со стороны$ABCD$. Нетрудно найти координаты вершин такого прямоугольника:

$$A'=A+r{\mathbf{u}\over|\mathbf{u}|}+r{\mathbf{v}\over|\mathbf{v}|}, \quad B'=B-r{\mathbf{u}\over|\mathbf{u}|}+r{\mathbf{v}\over|\mathbf{v}|}, \\ C'=C-r{\mathbf{u}\over|\mathbf{u}|}-r{\mathbf{v}\over|\mathbf{v}|}, \quad D'=D+r{\mathbf{u}\over|\mathbf{u}|}-r{\mathbf{v}\over|\mathbf{v}|},$$ где$\mathbf{u}$,$\mathbf{v}$определяются, как указано выше, и$|\mathbf{u}|$,$|\mathbf{v}|$длины векторов.

Как только новый прямоугольник получен, можно повторить описанный ранее алгоритм.

Давайте покажем, как это работает, на том же примере, что и раньше (ваша картинка), но с шаром радиуса$r=10$. Используя значения, вычисленные выше, легко найти новые вершины:

$$A'=\left(20,10+10 \sqrt{2}\right),\quad B'=\left(120-10 \sqrt{2},110\right),\\ C'=\left(70,160-10 \sqrt{2}\right),\quad D'=\left(10 \sqrt{2}-30,60\right),$$ и новые координатные векторы: $$\mathbf{u}'=\left(100-10 \sqrt{2},100-10 \sqrt{2}\right), \quad \mathbf{v}'=\left(10 \sqrt{2}-50,50-10 \sqrt{2}\right).$$ Тогда мы имеем: $$T-A'=\frac{3}{98} \left(10+\sqrt{2}\right)\mathbf{u}'+ \frac{1}{\sqrt{2}-5}\mathbf{v}'.$$ Первая координата находится в диапазоне$[0,1]$, а второй отрицательный. Окончательное положение таково: $$\frac{3}{98} \left(10+\sqrt{2}\right)\mathbf{u}'- \frac{1}{\sqrt{2}-5}\mathbf{v}'+A'= \left(40,10 \left(5+\sqrt{2}\right)\right).$$