Выражение локальной системы координат через другую локальную систему координат через глобальную систему координат

Позволять$\mathbf{R}_1$описать вращение из глобальной системы координат в первую локальную систему координат, и$\mathbf{R}_2$описывают поворот из глобальной системы координат во вторую локальную систему координат.

Затем,$\mathbf{R}_1^{-1}$описывает поворот от первой локальной системы координат обратно к глобальной системе координат, и$\mathbf{R}_2^{-1}$описывает поворот из второй локальной системы координат обратно в глобальную систему координат.

Когда матрица$\mathbf{R}$- чистая матрица вращения, она ортонормирована, а обратная ей транспонирована,$\mathbf{R}^{-1} = \mathbf{R}^T$.

Предположим, используется правое или постумножение между матрицами и векторами. Это означает, что если вектор$\vec{v}_g$в глобальной системе координат соответствует вектору$\vec{v}_1$в первой локальной системе координат, и к вектору$\vec{v}_2$во второй локальной системе координат, то

$$\vec{v}_1 = \mathbf{R}_1 \vec{v}_g \tag{1}\label{EQ1}$$ $$\vec{v}_2 = \mathbf{R}_2 \vec{v}_g \tag{2}\label{EQ2}$$ $$\vec{v}_g = \mathbf{R}_1^{-1} \vec{v}_1 \tag{3}\label{EQ3}$$ $$\vec{v}_g = \mathbf{R}_2^{-1} \vec{v}_2 \tag{4}\label{EQ4}$$ Мы можем заменить$\eqref{EQ4}$в$\eqref{EQ1}$получить $$\vec{v}_1 = \mathbf{R}_1 \mathbf{R}_2^{-1} \vec{v}_2$$ или$\eqref{EQ3}$в$\eqref{EQ2}$получить $$\vec{v}_2 = \mathbf{R}_2 \mathbf{R}_1^{-1} \vec{v}_1$$ Это означает, что для поворота вектора из первой локальной системы координат во вторую систему координат нам нужно использовать матрицу поворота$\mathbf{R}_{1 \to 2}$, $$\mathbf{R}_{1 \to 2} = \mathbf{R}_2 \mathbf{R}_1^{-1} \tag{5}\label{EQ5}$$ и из второй локальной системы координат обратно в первую,$\mathbf{R}_{2 \to 1}$, $$\mathbf{R}_{2 \to 1} = \mathbf{R}_1 \mathbf{R}_2^{-1} \tag{6}\label{EQ6}$$ Обратите внимание, что из-за того, что обе матрицы ортонормированы, $$\begin{aligned} \mathbf{R}_{2 \to 1} &= \mathbf{R}_{1 \to 2}^{-1} \\ \mathbf{R}_{1 \to 2} &= \mathbf{R}_{2 \to 1}^{-1} \\ \end{aligned}$$ Нет необходимости повторять эту процедуру для каждого отдельного случая. Из вышеизложенного мы можем вывести несколько правил, которые очень помогут в такой ситуации.

1. Мы рассматриваем только векторы-столбцы, т.е.$\vec{v} = \left [ \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{matrix} \right ]$.

2. Мы рассматриваем только чистые матрицы вращения и отражения, т. е. ортонормированные матрицы, для которых$\mathbf{R}^{-1} = \mathbf{R}^{T}$, и является обратным вращением на$\mathbf{R}$.

3. Мы используем правое или постумножение векторов для умножения матрицы на вектор. Это означает, что для поворота вектора$\vec{v}$по матрице$\mathbf{R}$, получаем результат, или повернутый вектор$\vec{r}$, с использованием$\vec{r} = \mathbf{R} \vec{v}$.

4. Мы можем связать вращения, умножив матрицы вращения. Если матрицы ортонормированы, результат также ортонормирован. Первое вращение — самая правая матрица в произведении, а последнее вращение — самая левая матрица в произведении.

5. Чтобы вычислить вращение между двумя локальными системами координат, мы «раскручиваем» вращения начальной системы координат, используя обратные матрицы вращения в обратном порядке, за которыми следуют матрицы вращения в нормальном порядке от глобальной системы координат до целевой локальной системы координат.

---

В качестве примера предположим, что у нас есть две локальные системы координат, повороты которых относительно глобальной системы координат равны$\mathbf{R}_1$и$\mathbf{R}_2$, и у нас есть еще две локальные системы координат,$\mathbf{R}_{11}$и$\mathbf{R}_{12}$поверх (или относительно)$\mathbf{R}_1$, и еще две локальные системы координат$\mathbf{R}_{21}$и$\mathbf{R}_{22}$поверх (или относительно)$\mathbf{R}_2$.

Другими словами, вектор$\vec{v}_0$в глобальной системе координат соответствует:

$$\begin{aligned} \vec{v}_1 &= \mathbf{R}_1 \vec{v}_0 \\ \vec{v}_2 &= \mathbf{R}_2 \vec{v}_0 \\ \vec{v}_{11} &= \mathbf{R}_{11} \mathbf{R}_1 \vec{v}_0 \\ \vec{v}_{12} &= \mathbf{R}_{12} \mathbf{R}_1 \vec{v}_0 \\ \vec{v}_{21} &= \mathbf{R}_{21} \mathbf{R}_2 \vec{v}_0 \\ \vec{v}_{22} &= \mathbf{R}_{22} \mathbf{R}_2 \vec{v}_0 \\ \end{aligned}$$ затем $$\begin{aligned} \mathbf{R}_{1 \to 2} &= \mathbf{R}_2 \mathbf{R}_1^{T} \\ \mathbf{R}_{22 \to 2} &= \mathbf{R}_{22}^{T} \\ \mathbf{R}_{21 \to 12} &= \mathbf{R}_{12} \mathbf{R}_{1} \mathbf{R}_2^{T} \mathbf{R}_{21}^{T} \\ \end{aligned}$$ и так далее. Простые!

Обратите внимание, что мы могли бы написать$\mathbf{R}_{22 \to 2} = \mathbf{R}_2 \mathbf{R}_2^{T} \mathbf{R}_{22}^{T}$, но с тех пор$\mathbf{R} \mathbf{R}^{T} = \mathbf{R}^{T} \mathbf{R} = \mathbf{I}$(тождественная матрица; «без изменений») для ортонормированных матриц мы можем опустить тождественную часть или часть «без изменений» и просто использовать$\mathbf{R}_{22 \to 2} = \mathbf{R}_{22}^{T}$.