Периодические и открытые граничные условия

Сложность ответа на такой вопрос зависит от системы к системе. Впрочем, вся эта история строго известна и доказана на простейшем нетривиальном примере: 2D классической модели Изинга (рассуждение работает и в более простом случае 1D классической модели Изинга, но тогда явление не будет описывать граничный эффект любую интересующую квантовую модель):

$$\begin{align*} Z&=\sum_{\{s_{ij}\}}e^{-\beta S}\\ &~~~~~~~~S= \sum_{i,j\,\in \,L}\,(J_x\,s_{ij}\,s_{ij+1}+J_y\,s_{ij}\,s_{i+1\,j})\\ \end{align*}$$

Решетка$L$является полубесконечным (т.е. имеет границу слева) и визуализируется ниже:

Затем мы можем представить, что берем локальную наблюдаемую$\mathcal O$(чья поддержка визуализирована ниже:) и формирование перевода$T_j(\mathcal O)$наблюдаемого$j$единиц в массе:

Если мы представим, что берем математическое ожидание такой наблюдаемой в пределе, когда$j$стремится к бесконечности, мы восстанавливаем математическое ожидание той же наблюдаемой, но оцениваемой в полной плоскости. Это термодинамическое предельное значение наблюдаемой, и скорость приближения известна:

$$\begin{align*} \langle T_j(\mathcal O)\rangle-\langle T_\infty(\mathcal O)\rangle\sim\,\,\, O(e^{-j/\zeta})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\tag{1}\\ \end{align*}$$ куда $\zeta$— корреляционная длина в объемной модели. Это первое утверждение, которое вы хотели доказать:

(1) Как$N\to \infty$, любая наблюдаемая, которая смотрит только на объем, не зависит от граничных условий.

Набросок математического доказательства (1)

Приведу набросок доказательства (1). Мы начнем с переписывания статистической суммы в терминах передаточной матрицы, которая действует на гильбертовом пространстве конфигураций одного столбца в решетке:

$$\begin{align*} Z&=\lim_{N\to\infty}\sum_{\{s_0\},\, \{s_N\}}\, \langle \{s_0\}|T^N|\{s_N\}\rangle,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,T:=e^{-\beta \sum_jJ_x\sigma^x_j\sigma^x_{j+1}}\cdot e^{-\beta \sum_jJ_y\sigma^z_j}\\ \end{align*}$$ Здесь, $\{s_0\},\{s_N\}$обозначают конфигурации спинов на граничном столбце и объемном столбе соответственно. Если у нас есть локальная наблюдаемая в полубесконечной плоскости, то ее значение может быть выражено через передаточную матрицу $T$следующим образом: В уравнениях: $$\begin{align*} \langle T_j(\mathcal O)\rangle&=\lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{\{s_0,s_N\}}\langle\{s_0\}|T^j\,\widehat O T^{N-j} |s_N\rangle}{\sum_{\{s_0\}}\langle\{s_0\}|T^N|\{s_N\}\rangle}\\ \end{align*}$$ Сразу визуально видно, почему граница неактуальна: в высокотемпературной фазе модели $T$имеет пробелы и имеет единственный максимальный собственный вектор. Выполнение полубесконечного термодинамического предела заменяет $T$с проекцией на его максимальный собственный вектор, который мы обозначаем через $|GS\rangle$: $$\begin{align*} T^j=|GS\rangle\langle GS|+O(e^{-j/\zeta}) \end{align*}$$ куда $1/\zeta$быть разрывом между самым большим и вторым по величине собственным значением $T$. Следовательно, подставляя это в наблюдаемое, $$\begin{align*} \langle T_j(\mathcal O)\rangle&=\frac{\sum_{\{s_0,s_N\}}\langle\{s_0\}|GS\rangle \langle GS|\,\widehat O|GS\rangle\langle GS |s_N\rangle}{\sum_{\{s_0\}}\langle\{s_0\}|GS\rangle \langle GS|\{s_N\}\rangle} + O(e^{-j/\zeta})=\langle GS|\widehat{\mathcal O}|GS\rangle+O(e^{-j/\zeta}) \end{align*}$$ Давайте сравним это с результатом, который мы получили бы в массе: $$\begin{align*} \langle \mathcal O\rangle_\text{bulk}&:=\lim_{j\to \infty}\langle T_j( \mathcal O)\rangle = \langle GS|\widehat{\mathcal O}|GS\rangle. \end{align*}$$ Вычитая это из конечного $j$результате, это завершает доказательство (1) в простом случае $T>T_c$, показав, что характерный диапазон граничных эффектов на локальные наблюдаемые равен объемной длине корреляции.

Точно так же, используя этот аргумент сходимости матрицы переноса, можно установить:

(2) Как$N\to \infty$, перекрытие основного состояния периодической системы и основного состояния открытой системы становится равным 1.

(3) Как$N\to \infty$, приведенная матрица плотности в объеме не зависит от граничных условий.

Снова, как и при доказательстве (1), заменим$T^j \sim |GS\rangle \langle GS|$за$j$достаточно большой. Опять же, ключевым моментом здесь является сходимость степеней матрицы переноса.$T^j$, который теряет любую «память» об эффектах/упорядочении конечного размера, поскольку$j\to \infty$.

Расширение до квантовой системы при нулевой температуре

Набросав быстрое доказательство интуиции «граничные эффекты не имеют значения» в классической обстановке, на самом деле тривиально обобщить это для количественной оценки граничного эффекта в квантовом основном состоянии. На самом деле нам не нужно переделывать доказательство; вместо этого мы переносим доказательство в квантовую среду, используя квантово-классическое соответствие , которое, грубо говоря, утверждает, что

$$\{\text{$d+1$-dim'l Classical system at $T>0$}\}\leftrightarrow \{\text{$d$-dim'l Quantum system at $T=0$}\}$$

Поэтому для доказательства (1-3) для квантового основного состояния достаточно использовать квантово-классическое отображение. Например, для случая 1+1D модели Изинга с поперечным полем (TFIM) мы применяем преобразование Сузуки-Троттера с временным шагом$\Delta \tau>0$к квантовой статистической сумме

$$Z=\lim_{\beta\to \infty}\text{tr}(e^{-\beta H_{TFIM}}),$$ который производит семейство эффективных действий $\{S[\Delta\tau]\}_{\Delta\tau}$описывающие статистические корреляции дискретного поля Изинга на цилиндрической пространственно-временной решетке. Семейство эффективных действий: $$\begin{align*} S[\Delta\tau]\underset{\,\,\Delta\tau\to \,0\,\,}{\sim} \sum_{j\tau}(J[\Delta\tau]\,s_{j\tau}s_{j+1\tau}+J_\perp[\Delta\tau]\, s_{j\tau}s_{j\tau+\delta\tau})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,.\\ \end{align*}$$ Конечно, граничный эффект в квантовой модели — это в точности граничный эффект в двумерной классической модели, который мы ограничили в приведенных выше рассуждениях (используя передаточную матрицу).

Выходя за рамки этого иллюстративного примера

Я надеюсь, что теперь это ясно: используя мощную комбинацию квантово-классического соответствия с методом трансфер-матрицы (все стандартные методы в наборе инструментов для конденсированных сред), можно количественно оценить граничные эффекты в широком классе квантовых основных состояний, далеких от помимо приведенного здесь примера с 1+1D TFIM. В любом случае, я надеюсь, что этот ответ объясняет, почему у физиков есть интуиция, которая у них есть, а также демонстрирует, что математическое доказательство граничного эффекта, по крайней мере, в довольно общем случае «рыскающих» спиновых систем с зазором и взаимодействиями ближайших соседей, хорошо известна (или, по крайней мере , должна быть) в литературе.

Математически периодическая функция, удовлетворяющая некоторым общим условиям, может быть разложена в ряды Фурье . Имея дело с непериодической функцией, определенной в интервале, ее можно периодически продолжать за пределы интересующего интервала и разлагать в ряды Фурье, которые по-прежнему будут точно представлять эту функцию в интервале. Далее можно действовать двумя способами:

• Математический подход состоит в том, чтобы взять предел бесконечно широкого интервала, и в этом случае мы переходим от ряда Фурье к преобразованию Фурье . Переход не лишен подводных камней, но он подробно описан во многих учебниках по математике, особенно по комплексному анализу.
• Физический подход заключается в рассмотрении интервала, достаточно большого, чтобы дискретность и другие эффекты граничных условий не имели значения — ведь в физике у нас всегда есть энергия, время, пространство и другие масштабы, которые ограничивают нашу точность — либо из-за некоторых свойств системы (взаимодействия или эффекты игнорируются в модели, иначе говоря, нулевая температура выше температуры Кондо ) или из-за ограничений, присущих измерениям. Хотя это может показаться менее строгим, чем математическое рассуждение, оно обязательно даст нам (физически) правильные результаты.

Замечания: приведенные выше рассуждения легко применимы к решетчатым системам, где преобразование Фурье становится дискретным преобразованием Фурье .