Плотность лагранжиана для силы Лоренца непрерывного распределения заряда во внешнем поле?

Question

Плотность лагранжиана для силы Лоренца непрерывного распределения заряда во внешнем поле?

Физика
динамика жидкостей
электромагнетизм
лагранжев формализм
вариационный принцип
классическая электродинамика

Дэниел Керр

Часто бывает сложно вывести закон силы Лоренца для частицы с зарядом. $q$ во внешнем электромагнитном поле, заданном следующим лагранжианом:

л "=" - м с^{2} \sqrt{1 - \frac{{\dot{р}}^{2}}{с^{2}}} - д ф + д \dot{р} \cdot А

$L = -mc^2\sqrt{1-\frac{\dot{r}^2}{c^2}} - q \phi + q \mathbf{\dot{r}} \cdot \mathbf{A}$

Что приводит к релятивистскому закону силы Лоренца:

Ф "=" \frac{г}{г т} (\frac{м \dot{р}}{\sqrt{1 - \frac{{\dot{р}}^{2}}{с^{2}}}}) "=" д (Е + \dot{р} \times Б)

$\mathbf{F} = \frac{d}{dt} \Bigg(\frac{m \mathbf{\dot{r}}}{\sqrt{1-\frac{\dot{r}^2}{c^2}}} \Bigg) = q(\mathbf{E} + \mathbf{\dot{r}} \times \mathbf{B})$

Для непрерывных распределений имеем:

ф "=" р Е + Дж \times Б

$\mathbf{f} = \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B}$

Я пытаюсь найти соответствующую лагранжеву плотность, которая приводит к этой силе. Я знаю, что если распределение заряда рассматривается как источник, вы можете использовать стандартную плотность Лагранжа для электромагнетизма, но это не даст вам уравнение силы Лоренца. Однако в моем конкретном случае я игнорирую собственное поле распределения заряда, поля чисто внешние, мне не нужна плотность лагранжиана электромагнетизма для моей проблемы. Наивно можно было бы заменить все экземпляры $m$ с термином плотности массы, $\rho_m$ , и все экземпляры $q$ с термином плотности заряда, $\rho_q$ , где $\mathbf{J} = \rho_q \mathbf{\dot{r}}$ .

л "=" - р_{м} с^{2} \sqrt{1 - \frac{в (р, т)^{2}}{с^{2}}} - р_{д} ф + р_{д} в (р, т) \cdot А "=" - р_{м} с^{2} \sqrt{1 - \frac{в (р, т)^{2}}{с^{2}}} - р_{д} ф + Дж \cdot А

$\mathcal{L} = -\rho_mc^2\sqrt{1-\frac{v(\mathbf{r},t)^2}{c^2}} - \rho_q \phi + \rho_q \mathbf{v}(\mathbf{r},t) \cdot \mathbf{A} = -\rho_mc^2\sqrt{1-\frac{v(\mathbf{r},t)^2}{c^2}} - \rho_q \phi + \mathbf{J} \cdot \mathbf{A}$

Однако плотности также являются функцией координат, и, кроме того, плотности массы и плотности заряда связаны друг с другом каким-то неизвестным образом. Если мы предположим, что все наши частицы являются электронами, мы можем масштабировать плотности по массе и заряду электрона. Если мы возьмем изменение этой лагранжевой плотности по отношению к плотности заряда, то мы получим следующее:

\frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial \dot{р}} + \frac{г}{г Икс} \frac{\partial л}{\partial р_{Икс}} + \frac{г}{г у} \frac{\partial л}{\partial р_{у}} + \frac{г}{г г} \frac{\partial л}{\partial р_{г}} "=" \frac{\partial л}{\partial р}

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\rho}} + \frac{d}{dx}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \rho_x} + \frac{d}{dy}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \rho_y} + \frac{d}{dz}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \rho_z}= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \rho}$

LHS явно равен нулю, поскольку у нас нет зависимости от производных плотности в нашей лагранжевой плотности. RHS просто дает нам:

0 "=" - \frac{м с^{2}}{е} \sqrt{1 - \frac{{\dot{р}}^{2}}{с^{2}}} - ф + в (р, т) \cdot А

$0 = -\frac{mc^2}{e}\sqrt{1-\frac{\dot{r}^2}{c^2}} - \phi + \mathbf{v}(\mathbf{r},t) \cdot \mathbf{A}$

Таким образом, ясно, что эта лагранжева плотность неверна, иначе мы не должны изменять плотность. Точно так же можно взять вариацию относительно поля скоростей, но это также не приводит к правильному уравнению. Я чувствую, что у меня здесь фундаментальное недоразумение, но я не могу найти ссылку, которая работает через это. Какова правильная лагранжева плотность? Какова правильная величина, чтобы варьировать действие?

Ответы (1)

Плотность лагранжиана для силы Лоренца непрерывного распределения заряда во внешнем поле?

Qмеханик · Answer 1

Комментарии к вопросу (v3):

ОП, по сути, спрашивает о лагранжевой теоретико-полевой формулировке релятивистской жидкости во внешнем электромагнитном фоне. $A_{\mu}$ .
Динамика жидкости имеет как лагранжеву, так и эйлерову картину . (Обратите внимание, что слово лагранжиан используется в двух разных значениях.) В релятивистском контексте также возникает проблема явно лоренц-инвариантной формулировки.
Вот простейшая лагранжева лагранжева релятивистская формулировка (с лоренцевской симметрией, но без явной лоренцевой симметрии). По существу это сводится к замене дискретных сумм в точечной механике непрерывными интегралами в теории поля. Ставим скорость света $c=1$ к одному для простоты. Поле с 3 позициями ${\bf r}:\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}\to\mathbb{R}^3$ зависит от непрерывной переменной маркировки ${\bf a}\in\mathbb{R}^3$ и время $t\in\mathbb{R}$ . Действие становится
$\begin{matrix} (1) & С [р] "=" {\int г т г^{3} а л (р (а, т), в (а, т), а, т) |}_{в "=" \dot{р}}, \end{matrix}$ $S[{\bf r}] ~=~ \left. \int \! dt~ d^3a~ {\cal L}({\bf r}({\bf a},t),{\bf v}({\bf a},t),{\bf a} ,t) \right|_{{\bf v}=\dot{\bf r}} \quad,\tag{1}$ где лагранжева плотность $\begin{matrix} (2) & л (р (а, т), в (а, т), а, т) "=" - \frac{мю (а)}{γ (в (а, т))} - р (а) ф (р (а, т), т) + р (а) в (а, т) \cdot А (р (а, т), т), \end{matrix}$ ${\cal L}({\bf r}({\bf a},t),{\bf v}({\bf a},t),{\bf a} ,t) ~=~ -\frac{\mu({\bf a})}{\gamma({\bf v}({\bf a},t))} -\rho({\bf a})~\phi({\bf r}({\bf a},t),t)+\rho({\bf a})~{\bf v}({\bf a},t)\cdot{\bf A}({\bf r}({\bf a},t),t) ,\tag{2}$ и где $\begin{matrix} (3) & γ (в) "=" \frac{1}{\sqrt{1 - в^{2}}} \end{matrix}$ $\gamma({\bf v})~:=~\frac{1}{\sqrt{1-{\bf v}^2}}\tag{3}$ является гамма-фактором. Остальная масса $m(\Omega)$ и заряд $Q(\Omega)$ в регионе $\Omega\subseteq \mathbb{R}^3$ маркировки 3-пространства задается $\begin{matrix} (4) & м (Ом) "=" \int_{Ом} г^{3} а мю (а) и Вопрос (Ом) "=" \int_{Ом} г^{3} а р (а), \end{matrix}$ $m(\Omega) ~=~ \int_{\Omega} \! d^3a~\mu({\bf a})\quad\text{and}\quad Q(\Omega) ~=~ \int_{\Omega} \! d^3a~\rho({\bf a}),\tag{4}$ соответственно.
Эйлерова формулировка более сложна (уже в нерелятивистском случае) из-за обозначения калибровочной симметрии, ср. например, этот пост Phys.SE и ссылки в нем. Если позволит время, я мог бы явно написать эйлерову формулировку в будущем обновлении.

Я вижу, я рассматривал представление лагранжевой жидкости, но не использовал поле положения $\mathbf{r}$ как функция вектора конфигурации $\mathbf{a}$ . Таким образом, мой лагранжиан был чепухой, имеющей противоречивые ссылки на каждый вектор. Это вполне логично, поскольку вектор положения теперь сам является полем и, очевидно, является параметром, относительно которого должно варьироваться действие. Спасибо за лаконичный и понятный ответ. Мне было бы любопытно увидеть эйлерову форму, если у вас есть время, но вы уже удовлетворительно ответили на мой вопрос, и я не обижусь, если вы этого не сделаете.
Если не ошибаюсь, если допустить, что плотности также меняются во времени, то полученное уравнение силы имеет явную зависимость от векторного потенциала как $-\dot{\rho}\mathbf{A}$ , правильный? Есть ли причина, по которой вы зафиксировали плотности во времени, разве не правильно допустить, чтобы они также зависели от времени?
Масса и плотность заряда, $\mu({\bf a})$ и $\rho({\bf a})$ , не зависит от $t$ в лагранжевой картине.
Ах да, пришлось бы выразить их в терминах $\mathbf{r}$ получить их зависимость. Виноват.

Плотность лагранжиана для силы Лоренца непрерывного распределения заряда во внешнем поле?

Дэниел Керр

Ответы (1)

Qмеханик

Дэниел Керр

Дэниел Керр

Qмеханик

Дэниел Керр

Как вывести уравнения Максвелла из электромагнитного лагранжиана?

Физическая интерпретация лагранжиана ЭМ поля

Получение всей электродинамики из одного единственного действия

Восстановление всех уравнений Максвелла из вариационного принципа

Вопрос о выводе лагранжиана 1-го порядка в формализме Фаддеева-Жаккова

Вариационная форма уравнений Эйлера для несжимаемой жидкости?

Пропущенные члены в гамильтониане после преобразования Лежандра лагранжиана

Механика жидкости из вариационного принципа

Справочный запрос: гидродинамика/эластичность через лагранжианы

Канонический тензор напряжений для свободного электромагнитного поля