Интересно, используя дифференциальные формы и их интерпретации изображений , можно ли дать хорошее геометрическое и физическое обоснование форме электромагнитной лагранжевой плотности?
Лагранжиан для электромагнитного поля без источников тока в терминах дифференциальных форм имеет вид , куда является внешней производной 4-потенциала . Другой способ сказать это так: представляет собой четырехмерный ротор 4-потенциала , т. е. антисимметричная часть потока определителя якобиана векторного поля , и поскольку мы можем физически интерпретировать ротор векторного поля как мгновенное вращение элементов объема, которые действует, кажется, что мы можем интерпретировать различные говоря, что мы пытаемся минимизировать мгновенный четырехмерный объем вращения электромагнитного поля (поскольку двойственность по Ходже на 2-формах дает 2-формы, «перпендикулярные» нашим исходным, вклинивание формы с ее дуальной дает нам 4-й объем , так что здесь мы получаем вращение элемента объема в пространстве-времени).
Это правильно?
Существует также проблема определения одного и того же действия только в разных пространствах с использованием и поэтому подобная интерпретация должна существовать... Если я интерпретирую как я интерпретировал выше, т.е. 4-мерный завиток, и аналогично только в двойственном пространстве, то, чтобы получить из них скаляр, я должен взять след матричного произведения , что, как мне кажется, можно интерпретировать как дивергенцию объема вращения, тем самым минимизируя действие, кажется, говоря, что мы минимизируем поток вращения на единицу объема.
Это правильно?
Если эти интерпретации каким-то образом верны, может ли кто-нибудь предложить подобную интерпретацию для в лагранжиане, когда мы получаем закон силы Лоренца или другие уравнения Максвелла? Смутные размышления об интерпретации этого термина с точки зрения тока и получение уравнений Максвелла намекают на то, что то, что я написал выше, имеет по крайней мере некоторую достоверность!
Интересно, если это правильно, я бы предположил, что все это имеет фантастическую глобальную интерпретацию с точки зрения пучков волокон, если кто-нибудь увидит взаимосвязь, которая будет интересной.
(На странице 9 этого PDF-файла я получаю эту интерпретацию дивергенции и завихрения через якобиан, и я смешиваю ее с геометрической интерпретацией дифференциальных форм в стиле гравитации MTW)
Я понимаю математический вывод Ландау тензор поля, лоренц-инвариантный скаляр относительно скалярного произведения Минковского, линейность ЭОМ и устранение прямой зависимости от потенциалов, но физическая мотивация для его формы отсутствует. Поскольку можно свободно интерпретировать минимизацию как минимизация избытка кинетической энергии над потенциальной на пути частицы, а для свободной частицы просто как минимизация энергии, я не понимаю, почему нельзя дать вольную интерпретацию ЭМ-лагранжиана. Любые мысли приветствуются.
Использованная литература:
Хорошо, я попытаюсь ответить на этот вопрос, хотя я утверждаю, что язык дифференциальной геометрии и дифференциальных форм (особенно в релятивистском четырехмерном пространстве) не является тем, чем я пользуюсь каждый день. Однако я полностью согласен с тем, что физическая картина важна (особенно в физике :))
Что ж, процесс «обнуления» производной (или дифференциальной формы) касается не только экстремальных значений (минимум/максимум), но и связан с «точностью» .
Так что же это означает в менее «символических» и более «физических» терминах.
Поскольку дифференциал и точность/замкнутость относятся к ядру преобразования, простыми словами это означает, что в этой области существует «стабильная точка (динамического) равновесия» (ничего не «потеряно» и не «добавлено»).
При добавлении источников форма перестает быть «точной». Источники не равны нулю, поэтому и ядро не равно нулю, и есть взаимодействия.
Если вам нужна «более геометрическая» картина (например, с точки зрения «вращения»), это связано с релятивистской концепцией «времени» (с которой я не согласен в некоторых моментах).
Тем не менее можно предположить такую геометрическую картину:
Потенциал А (который «ненаблюдаем») используется как «фаза». Этот А-потенциал можно рассматривать как конфигурацию, которая имеет стабильную форму, но может менять положение.
Думайте об этом как о молекуле ДНК, которая сформирована в петлю. Информация о молекуле ДНК не изменяется, но ее относительная перестановка/вращение/положение МОГУТ измениться, и дифференциальная форма просто утверждает, что это не имеет значения («калибровочная инвариантность»).
Ларри Харсон