Вопрос о выводе лагранжиана 1-го порядка в формализме Фаддеева-Жаккова

Я смотрю на эту ссылку (извините, это файл постскриптума, но я не могу найти версию в формате pdf в Интернете. В этой статье описывается аналогичная процедура).

Темой является рассмотрение Фаддеевым-Джекивом сингулярных лагранжианов (исчезновение Гессе) - аналогично тому, что делает Дирак, но без необходимости различать ограничения первого и второго класса. Просто смотрю на классику здесь, без квантования.

Начиная с лагранжиана Максвелла

$$\mathcal{L}=F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

где

$$F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$$

мы видим, что это второй порядок производных по времени, действующих на A.

Мы решили написать это в форме первого порядка, как это

$$\mathcal{L}=(\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu})F^{\mu\nu}-{1\over{2}}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

где мы лечимся$F^{\mu\nu}$теперь как вспомогательная, независимая переменная. Определив это, Фаддеев говорит

"перепишем (последнее уравнение) как:

$$\mathcal{L}=(\partial_{0}A_{k})F^{0k}+A_{0}(\partial_{k}F^{0k})-F^{ik}(\partial_{i}A_{k}-\partial_{k}A_{i})-{1\over{2}}(F^{0k})^2-{1\over{2}}(F^{ik})^2$$ "

Мой вопрос в том, как он приходит к этому из предыдущего уравнения? Я не понимаю, как простое преобразование индексов во временные и пространственные значения может привести меня к$A_{0}(\partial_{k}F^{0k})$

Я вижу, что есть что-то особенное в$A_{0}$, так как когда я выписываю ЭОМ для лагранжиана первого порядка,$A_{0}$выпадает, что действительно должно происходить, потому что в итоге мы получим множитель Лагранжа. Я просто не понимаю, как вы в конечном итоге с этим термином, с$A_{0}$умножение$\partial_{k}F^{0k}$.

Это явно правильно, так как$A_{0}divE$это просто ограничение по закону Гаусса.