Пропущенные члены в гамильтониане после преобразования Лежандра лагранжиана

I) Для общего лагранжиана$L(q,v,t)$, преобразование Лежандра может быть сингулярным, т. е. скорости$v^i$в импульсных отношениях

$$\tag{1} p_i~:=~\frac{\partial L(q,v,t)}{\partial v^i}$$

нельзя изолировать. Способ выполнения сингулярного преобразования Лежандра для получения соответствующей гамильтоновой формулировки называется анализом Дирака-Бергмана, ср. исх. 1 и 2.

II) Пример. OP, очевидно, рассматривает электромагнитную модель Хопфилдса с поляризацией, также изучаемую в этом посте Phys.SE. Его лагранжева плотность$^1$

$$\tag{2} {\cal L}(A_{\mu},{\bf P}) ~=~-\frac{1}{16\pi}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} +A_{\mu} J^{\mu}_b +\frac{1}{2\beta}\left(\frac{1}{\omega_0^2}\dot{\bf P}^2 -{\bf P}^2\right)$$

приводит к сингулярному преобразованию Лежандра. Импульс

$$\tag{3} \pi^0~:=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{A}_0}~=~0$$

соответствующий$A_0$поле исчезает! уравнение (3) является основным ограничением в терминологии Дирака. Можно показать, что существует и вторичное ограничение, а именно закон Гаусса.

$$\tag{4} {\bf \nabla}\cdot {\bf D}~=~0,$$

где${\bf D}={\bf E}+4\pi{\bf P}$. (В этой модели нет бесплатных зарядов.) Импульс${\bf \pi}=-\frac{1}{4\pi}{\bf E}$для магнитного векторного потенциала${\bf A}$по существу электрическое поле${\bf E}$. Позволять${\bf \Pi}$быть импульсом для поляризации${\bf P}$. Можно показать, что плотность гамильтониана становится

$$\tag{5} {\cal H}(A_{\mu},{\bf E},{\bf P},{\bf \Pi}) ~=~ \frac{1}{8\pi}({\bf E}^2+{\bf B}^2) +\frac{1}{4\pi}A_0 {\bf \nabla}\cdot {\bf D} +\frac{\beta\omega_0^2}{2}({\bf \Pi}-{\bf A})^2 +\frac{1}{2\beta}{\bf P}^2,$$

после отбрасывания полного дивергентного члена и устранения$\pi^0$поле.

III) Технически то, что OP пишет в своем втором уравнении, не является плотностью гамильтониана.${\cal H}$но лагранжева функция плотности энергии

$$\tag{6} {\cal h}(A_{\mu},\dot{\bf A},{\bf P},\dot{\bf P}) ~:=~\dot{A}_{\mu} \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{A}_{\mu}} + \dot{\bf P}\cdot \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\bf P}}-{\cal L}.$$

IV) В более общем смысле, дело в том, что функция энергии Лагранжа$h$зависит от скоростей$v$, а гамильтониан$H$зависит от импульсов$p$. Если лагранжиан имеет вид

$$\tag{7} L~=~\sum_{n=0}^{2}L_n,$$

где$L_n$однородна по скоростям$v$с весом$n$(т.е. лагранжиан (7) зависит от скоростей до квадратичного порядка), то функция энергии Лагранжа имеет вид

$$\tag{8} h~:=~~\left(v^i\frac{\partial}{\partial v^i}-1\right) L ~=~\sum_{n=0}^{2}(n-1)L_n ~=~ L_2 - L_0.$$

На словах: квадратичные члены$L_2$сохраняются, линейные члены$L_1$исчезают, а постоянные члены$L_0$перевернуть знаки.

Использованная литература:

1. П.Э.М. Дирак, Лекции по квантовой механике, 1964.

2. М. Хенно и К. Тейтельбойм, Квантование калибровочных систем, 1994.

--

$^1$В этом ответе мы работаем с единицами СГС, где скорость света в вакууме равна$c=1$, и подпись Минковского$(-,+,+,+)$, ср. этот ответ Phys.SE.