Получение всей электродинамики из одного единственного действия

Преамбула

Действие для релятивистской заряженной частицы$m$и заряжать$q$двигаясь во внешнем электромагнитном 4-потенциале$A^\mu$является

$$\mathcal S_p[y]=-\int_{a}^{b}\left(mc+\frac q c A_\mu(y)\frac {dy^\mu} {ds} \right)ds$$ где $a,b\in\mathbb R^{1,3}$, и $y$путь частицы в пространстве-времени. От $\delta \mathcal S_p=0$получается уравнение Лоренца: $$mc\frac {d^2y^\mu}{ds^2}=\frac q c F_{\mu \nu} \frac {dy^\nu}{ds}$$ где $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$это электромагнитное поле.

Действие на электромагнитное поле, создаваемое 4-точным$j^\mu$является

$$\mathcal S_f[A]=-\int_{\Sigma_1}^{\Sigma_2}\left (\frac 1 4 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+A_\mu j^\mu\right)d^4x$$ где $\Sigma_1$и $\Sigma_2$являются пространственноподобными поверхностями в пространстве-времени. От $\delta \mathcal S_f=0$получают уравнения Максвелла: $$\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu$$

Вопрос

Есть ли способ записать одно действие, функционирующее как от пути частицы, так и от электромагнитного 4-потенциала, экстремумы которого равны всем и только$A$и$y$которые удовлетворяют уравнениям Лоренца и Максвелла? (В последнем 4-ток следует заменить на$j^\mu(x)=\int q \frac {dy^\mu} {ds}\delta^4(x-y(s))ds$.)

Частичный ответ

В книге Лехнера автор пишет следующее действие:

$$\begin{align}\mathcal S[A,y]&=\mathcal S_1[A]+\mathcal S_2[y]+\mathcal S_3[A,y]=\\&=-\int_{\Sigma_1}^{\Sigma_2}\frac 1 4 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}d^4x-\int_a^bmcds-\int_{\Sigma_1}^{\Sigma_2}A_\mu j^\mu d^4x\end{align}$$ и с тех пор $\mathcal S_2[y]$не зависит от $A$, он замечает, что поле $A$сводит к минимуму $\mathcal S_1[A]+\mathcal S_3[A,y]=\mathcal S_f[A]$тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Максвелла. Аналогичным образом, поскольку $\mathcal S_1[A]$не зависит от $y$, путь $y$сводит к минимуму $\mathcal S_2[y]+\mathcal S_3[A,y]=\mathcal S_p[y]$если выполняется уравнение Лоренца.

Но таким образом, не исключает ли он возможность того, что$A$и$y$может одновременно минимизировать действие, являющееся суммой трех слагаемых?