Восстановление всех уравнений Максвелла из вариационного принципа

Лагранжиан Максвелла определяется как

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

куда$F_{\mu\nu}$- напряженность поля калибровочного поля или, альтернативно, может быть интерпретирована как кривизна$U(1)$Связность со значениями алгебры Ли,$A_{\mu}$. Применяя вариационный принцип, получаем

$$\partial_\mu F^{\mu\nu}=0$$

в вакууме. С точки зрения электрического и магнитного полей,

$$\nabla \cdot \vec{E}=0 \quad \quad \partial_t \vec{E}=\nabla \times \vec{B}$$

мы восстанавливаем два уравнения Максвелла. Обратите внимание, что на языке дифференциальных форм$F=dA$, т. е. кривизна есть точная форма, и все точные формы также замкнуты относительно операции внешнего дифференцирования, т. е.

$$dF=d^2 A=0$$

Преобразуя приведенное выше выражение в тензорное уравнение, используя стандартное определение,

$$d\omega^{(n)}_{a_1 \dots a_n}=\frac{1}{n!} \left( \partial_{[a_1} \omega_{\dots a_n]}\right)$$

восстанавливает тензорную форму тождества Бьянки,

$$\partial_\lambda F_{\mu\nu}+\partial_\mu F_{\nu\lambda}+\partial_\nu F_{\lambda\mu}=0$$

из которого следуют два оставшихся уравнения Максвелла:

$$\nabla \cdot \vec{B}=0\quad \quad \partial_t \vec{B}=-\nabla\times \vec{E}$$

---

Напомним, учитывая спиновую связь$\omega$, по второму структурному уравнению Картана форма кривизны имеет вид

$$\mathcal{R}=d\omega + \omega \wedge \omega$$

Однако группа Ли$U(1)$абелева, а структурные константы равны нулю, поэтому вышеизложенное упрощается,

$$\mathcal{R}=d\omega$$

что полностью аналогично определению напряженности электромагнитного поля. Другие калибровочные группы могут не обладать такой же напряженностью поля. Например, в квантовой хромодинамике$SU(3)$неабелева, и дополнительный член не обращается в нуль; в тензорной форме:

$$G_{\mu\nu}^a=\partial_\mu A^a_\nu - \partial_\nu A^a_\mu + gf^{a}_{bc}A^{b}_\mu A^{c}_\nu$$