Плотность вероятности свободной частицы

Question

Плотность вероятности свободной частицы

Анонимный

Я недавно изучал КМ и столкнулся со случаем свободной частицы. Я понял, что свободная частица движется в виде волнового пакета, где мы получаем

ψ (Икс) "=" \frac{\int_{- \infty}^{\infty} ф (к) е^{я к Икс} г к}{\sqrt{2 π}}

$\psi (x) = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} \phi (k) e^{ikx} dk}{\sqrt {2 \pi}}$ Теперь дано

ψ (x, 0)

$\psi (x,0)$ я могу найти

ψ (x, t)

$\psi (x,t)$ теперь нам требуется найти плотность вероятности волновой функции. Я думаю, это должно быть

ψ^{*} (x, t) ψ (x, t)

$\psi ^*(x,t)\psi (x,t)$ но данное решение делает

ϕ^{*} (k, t) ϕ (k, t)

$\phi^*(k,t)\phi(k,t)$ и я в замешательстве. Вдобавок к этому нам также дан импульс частицы

2 ℏ k

$2\hbar k$ но я понятия не имею, где нам нужно использовать это значение и имеет ли оно какое-либо значение или нет. Также нам необходимо найти среднюю энергию, и я сделал это обычным способом:

\int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} (x) H ψ (x)

$\int_{-\infty}^{\infty}\psi^* (x) H \psi (x)$ но ответ не совпадает. Я что-то неправильно интерпретирую о свободной частице? Пожалуйста, помогите, я в полном замешательстве, буду рад подсказке.

Я нашел эту ссылку, где написано $\phi(k)$ есть амплитуда вероятности импульса свободной частицы, но не найдем ли мы среднее значение импульса частицы по этой формуле

\int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} (Икс) \frac{- я ℏ г}{г Икс} ψ (Икс) ?

$\int_{-\infty}^{\infty}\psi^* (x) \frac{-i\hbar d}{dx} \psi (x)~?$ Плотность вероятности импульса в квантовой механике

Чтобы быть точным: я публикую формулировку вопроса здесь:

В момент времени 𝑡=0 свободная частица в квантово-механическом состоянии описывается волновой функцией 𝜓(𝑥)= $\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{\frac{-\alpha x^2}{2}}$ .

(a) Найдите плотность вероятности частицы с импульсом 2ℏ𝑘 в любой момент времени t. Здесь k — волновой вектор.

б) Найдите среднюю энергию частицы в любой момент времени t.

Примечание. Это не вопрос HW. Скорее вопрос, который пришел в нашем экзамене колледжа.

Г. Смит

Это не вопрос HW. Это не имеет значения. Считается ли вопрос домашним заданием, как на этом сайте, не имеет ничего общего с тем, является ли он или был настоящим домашним заданием для вас или кого-либо еще, или был ли он на каком-то экзамене для вас или кого-либо еще. Решение должно основываться только на том, какой вопрос вы задаете.

Г. Смит

Вы перевели формулировку вопроса на английский язык? Кажется, что он должен спрашивать: «Найдите плотность вероятности того, что частица будет иметь импульс 2ℏ𝑘 в любой момент времени t». Это будет плотность вероятности в импульсном пространстве .

Г. Смит

Ты можешь написать

ℏ

$\hbar$ как \хбар.

Герт

Ваше ожидаемое значение импульса, по-видимому, не имеет дифференциала.

Г. Смит

гауссов волновой пакет В том, что вы написали, нет ничего гауссовского.

пользователь 250764

@ G.Smith Я не перевел заявление. Первоначально он был только на английском языке. И гауссовский волновой пакет, я использовал это слово, так как я читал, что волновые пакеты в основном имеют гауссову природу. Я могу ошибаться. Должен ли я редактировать его?

Г. Смит

То, что вы написали, является преобразованием Фурье. Он может представлять волновой пакет любой формы, а не только гауссовой, поэтому я рекомендую убрать слово «гауссовский».

пглпм

У вас, кажется, есть некоторая путаница между вероятностью и ожиданием. Я также опасаюсь, что вы пытаетесь запомнить формулы ("Я делал как обычно..."). Есть несколько хороших книг по квантовой теории, которые действительно помогают вам понять и объясняют концепции шаг за шагом. Взгляните, например, на «Основы квантовой механики» де Мюйнка и «Квантовая теория: концепции и методы» Переса . Проверьте формализм POVM , это делает измерение и вероятность намного яснее.

ДЖЭБ

определение

ψ (x)

$\psi(x)$ как интеграл по

d x

$dx$ неправильно. Вы должны когерентно добавлять собственные состояния импульса

\exp i k x

$\exp{ikx}$ с импульсом

(k, k + d x)

$(k,k+dx)$ с весом

ϕ (k)

$\phi(k)$ .

пользователь 250764

@JEB, да, ты прав, это была опечатка. починил это. Но как вы узнали, что собственные состояния импульса равны exp ikx, а собственные значения импульса равны

ϕ (k)

$\phi(k)$ ? как будто я прочитал Гриффита от корки до корки, но в книге не упоминалось, что такое

ϕ (k)

$\phi(k)$ , так что я интерпретировал, что это коэффициенты, которые мы обычно имеем в случае Asinkx+Bcoskx , типов A и B, и я вообще не могу связать это с импульсом.

Ричард Майерс

Чтобы устранить все возникшие у вас недоразумения, представляется необходимым написать вводные главы текста по МК. Даже в Гриффитсе есть ответы на эти вопросы, которые, как вы говорите, вы прочитали от корки до корки. Есть много других текстов QM (и онлайн-заметок), если вы сочтете презентацию Гриффита неясной, хотя немногие из них будут столь же математически мягкими.

пользователь 250764

Да, я тоже был немного сбит с толку потенциалом конечной квадратной ямы, и я нашел курс MIT полезным, но что касается свободных частиц, я не смог найти хороший источник (с открытым исходным кодом), не могли бы вы поделиться некоторыми материалами с открытым исходным кодом, в которых обсуждаются мои сомнения желательно то, что имеет подробное обсуждение свободных частиц.

ДЖЭБ

@Алекс:

- i \partial_{x} e^{i k x} = k e^{i k x}

$-i\partial_xe^{ikx}=ke^{ikx}$ так

e^{i k x}

$e^{ikx}$ является собственным состоянием с импульсом

k

$k$ .

Космас Захос

Это гауссов волновой пакет . Это должно быть показано в вашем тексте и в большинстве приличных текстов QM. Прочитать.

Ответы (1)

Плотность вероятности свободной частицы

Это не вопрос HW. Это не имеет значения. Считается ли вопрос домашним заданием, как на этом сайте, не имеет ничего общего с тем, является ли он или был настоящим домашним заданием для вас или кого-либо еще, или был ли он на каком-то экзамене для вас или кого-либо еще. Решение должно основываться только на том, какой вопрос вы задаете.
Вы перевели формулировку вопроса на английский язык? Кажется, что он должен спрашивать: «Найдите плотность вероятности того, что частица будет иметь импульс 2ℏ𝑘 в любой момент времени t». Это будет плотность вероятности в импульсном пространстве .
Ты можешь написать $\hbar$ как \хбар.
Ваше ожидаемое значение импульса, по-видимому, не имеет дифференциала.
гауссов волновой пакет В том, что вы написали, нет ничего гауссовского.
@ G.Smith Я не перевел заявление. Первоначально он был только на английском языке. И гауссовский волновой пакет, я использовал это слово, так как я читал, что волновые пакеты в основном имеют гауссову природу. Я могу ошибаться. Должен ли я редактировать его?
То, что вы написали, является преобразованием Фурье. Он может представлять волновой пакет любой формы, а не только гауссовой, поэтому я рекомендую убрать слово «гауссовский».
У вас, кажется, есть некоторая путаница между вероятностью и ожиданием. Я также опасаюсь, что вы пытаетесь запомнить формулы ("Я делал как обычно..."). Есть несколько хороших книг по квантовой теории, которые действительно помогают вам понять и объясняют концепции шаг за шагом. Взгляните, например, на «Основы квантовой механики» де Мюйнка и «Квантовая теория: концепции и методы» Переса . Проверьте формализм POVM , это делает измерение и вероятность намного яснее.
определение $\psi(x)$ как интеграл по $dx$ неправильно. Вы должны когерентно добавлять собственные состояния импульса $\exp{ikx}$ с импульсом $(k,k+dx)$ с весом $\phi(k)$ .
@JEB, да, ты прав, это была опечатка. починил это. Но как вы узнали, что собственные состояния импульса равны exp ikx, а собственные значения импульса равны $\phi(k)$ ? как будто я прочитал Гриффита от корки до корки, но в книге не упоминалось, что такое $\phi(k)$ , так что я интерпретировал, что это коэффициенты, которые мы обычно имеем в случае Asinkx+Bcoskx , типов A и B, и я вообще не могу связать это с импульсом.
Чтобы устранить все возникшие у вас недоразумения, представляется необходимым написать вводные главы текста по МК. Даже в Гриффитсе есть ответы на эти вопросы, которые, как вы говорите, вы прочитали от корки до корки. Есть много других текстов QM (и онлайн-заметок), если вы сочтете презентацию Гриффита неясной, хотя немногие из них будут столь же математически мягкими.
Да, я тоже был немного сбит с толку потенциалом конечной квадратной ямы, и я нашел курс MIT полезным, но что касается свободных частиц, я не смог найти хороший источник (с открытым исходным кодом), не могли бы вы поделиться некоторыми материалами с открытым исходным кодом, в которых обсуждаются мои сомнения желательно то, что имеет подробное обсуждение свободных частиц.
@Алекс: $-i\partial_xe^{ikx}=ke^{ikx}$ так $e^{ikx}$ является собственным состоянием с импульсом $k$ .
Это гауссов волновой пакет . Это должно быть показано в вашем тексте и в большинстве приличных текстов QM. Прочитать.

Манас Чоудхари · Answer 1

Позвольте мне дать вам некоторое представление о вашей проблеме.

Почему мы делаем $\phi(k, t)^*\phi(k, t)$ вместо того, чтобы делать обычные $\psi(x, t)^*\psi(x, t)$ ? Это просто потому, что $\psi(x, t)^*\psi(x, t)$ представляет собой плотность вероятности того, что частица будет найдена в заданном собственном состоянии положения. Проще говоря, быть найденным в определенном месте в одномерном пространстве. Но, если вы внимательно прочитаете свой вопрос, он просит вас найти вероятность быть найденным в собственном состоянии импульса. Итак, мы прыгаем с кораблей в импульсное пространство. Именно здесь вступают в действие преобразование Фурье и приемы обратного Фурье. Вспомните постулаты квантовой механики, и вы обнаружите, что квадрат коэффициентов в разложении собственной функции по собственным векторам наблюдаемой представляет вероятность того, что она будет найдена. в этом собственном состоянии наблюдаемого. Итак, делая $\phi(k, t)^*\phi(k, t)$ правильно, за исключением некоторых внутренних констант, которые вы можете легко узнать, если посмотрите преобразование Фурье в любом стандартном тексте.
Это гораздо более тривиально и легко выяснить, если вы посмотрите внимательно. Ваша волновая функция не нормализована, поэтому ваша формула не будет работать. Сначала нормализуйте, а затем попробуйте использовать эту формулу или просто выполните
$⟨ Е ⟩ "=" \frac{\int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} \hat{ЧАС} ψ г Икс}{\int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} ψ г Икс}$ $\langle E\rangle=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*\hat H\psi dx}{\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*\psi dx}$

Плотность вероятности свободной частицы

Анонимный

Г. Смит

Г. Смит

Г. Смит

Герт

Г. Смит

пользователь 250764

Г. Смит

пглпм

ДЖЭБ

пользователь 250764

Ричард Майерс

пользователь 250764

ДЖЭБ

Космас Захос

Ответы (1)

Манас Чоудхари

Почему ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} является действительной волновой функцией, поскольку она не является конечно интегрируемой на RR\Bbb R?

Текущая вероятность

Почему коэффициент отражения при квантово-механическом рассеянии определяется именно так?

Вероятность нахождения частицы в левом боку в момент времени ttt

Форма уравнения Шредингера для плотности вероятности

Отсутствие вероятности для реальных волновых уравнений

Нормируемая волна свободных частиц на 1D

Путаница плотности тока вероятности

Нулевая вероятность найти электрон в ядре

Формулировка и вероятность волновой функции [закрыто]