Текущая вероятность

Вы ищете доказательства?

Если это так, эта ссылка (которая имеет некоторые ошибки со знаком, как указано в комментариях) доказывает это следующим образом (без ошибок со знаком):

Начнем с дифференцирования определения плотности вероятности только по времени:

$$\frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\left (\psi^*(x,t) \psi(x,t)\right) = \left[ \frac{\partial\psi^*}{\partial t}\psi + \psi^*\frac{\partial\psi}{\partial t} \right] (1)$$

Теперь воспользуемся уравнением Шредингера и его комплексным сопряжением:

$$-\frac{\hbar^2 }{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + V(x)\psi = i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}$$

$$-\frac{\hbar^2 }{2m}\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2} + V(x)\psi^* = -i \hbar \frac{\partial \psi^*}{\partial t}$$

И введите их в (1):

$$\frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = \frac 1 {i\hbar}\left[ \frac{\hbar^2 }{2m}\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}\psi - V(x)\psi^*\psi -\frac{\hbar^2 }{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\psi^* + V(x)\psi\psi^* \right]$$ Что соответствует: $$\frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = \frac 1 {i\hbar} \frac{\hbar^2}{2m} \left[ \frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}\psi - \psi^*\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\right] = \frac{\hbar}{2mi}\frac{\partial}{\partial x} \left[ \frac{\partial\psi^*}{\partial x}\psi - \psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x} \right] (2)$$

Ток вероятности определяется следующим образом:

$$j(x,t) = \frac{\hbar}{2mi} \left[\psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial x} \right]$$ Следовательно, его дифференциал по$x$ось следующая:

$$\frac{\partial j(x,t)}{\partial x} = \frac{\hbar}{2mi} \left[\psi^* \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} - \psi \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2}\right] = \frac{\hbar}{2mi} \frac{\partial}{\partial x} \left[ \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial x} \right ] (3)$$

$$\mbox{(2) and (3)} \Leftrightarrow \frac{\partial P(x,t)}{dt} + \frac{\partial j(x,t)}{\partial x} = 0$$