Нормируемая волна свободных частиц на 1D

Question

Нормируемая волна свободных частиц на 1D

Высокий средний балл

Я пытаюсь решить нерелятивистское уравнение Шредингера со свободной одномерной частицей с начальной волновой функцией $\psi(x,0)=\delta(x)$ , где

дельта (Икс) "=" \underset{а \to 0}{лим} (а / 2) | Икс |^{(а - 1)} .

$\delta(x)=\lim_{a\to0}(a/2)|x|^{(a-1)}.$

Вот мой подход:

Набор

я ℏ \frac{\partial}{\partial т} Ψ (Икс, т) "=" Е Ψ (Икс, т) "=" - \frac{ℏ^{2}}{2 м} \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}^{2}} Ψ (Икс, т) .

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi (x,t) =E\Psi(x,t)= -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi (x,t).$

Общие решения выглядят так:

Ψ "=" А е^{а} е^{б}

$\Psi=Ae^ae^b$

Так как знак действительного числа $E$ может быть определено произвольно, я выбираю $E<0$ сделать решение нормируемым.

Ψ (Икс, т) "=" А е^{- к Икс + я ю т}

$\Psi(x,t) = A e^{-kx+i\omega t}$

Ψ^{*} Ψ \equiv дельта (Икс)

$\Psi^*\Psi\equiv\delta(x)$

Я прав?

Как мне получить разумное решение, изображающее эволюцию функции плотности свободной частицы на $\mathbb R$ ? (например, видео в формате gif в https://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle )

Второй подход заключается в рассмотрении $E>0$ и установите граничные условия, как частица в «очень большом» одномерном ящике. Не могли бы вы помочь мне с этим?

Из главного ответа Яна я узнал три способа работы с ненормализуемыми волновыми функциями.

Нормирование решения уравнения Шредингера для свободных частиц

Одним из них было «использовать только нормализуемые функции для вычисления вероятности».

Процесс решения взят из http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/Scheq.html#c2 .

Извините, если вопрос уже задан.

вероятно_кто-то

Связанный: физика.stackexchange.com/q /129978

Ответы (1)

Нормируемая волна свободных частиц на 1D

Связанный: физика.stackexchange.com/q /129978

ZeroTheHero · Answer 1

... мне кажется, здесь есть несколько проблем.

$\psi(x)=\delta(x)$ не является собственной функцией гамильтониана, поэтому поиск решения уравнения Шредингера, не зависящего от времени, бесполезен. Решение с вашим начальным условием будет суперпозицией плоских волн, поскольку плоские волны являются собственными функциями задачи свободных частиц.
Если $\Psi(x,t)=Ae^{-i(\omega t-kx)}$ , $\Psi(x,t)^*\Psi(x,t)=\vert A\vert^2$ , нет $\delta(x)$ . Более того, ваш $\Psi(x,t)$ является плоской волной и, следовательно, ни при каком значении $x$ .
Далее, если вы ищете свободную частицу, то $E$ должно быть неотрицательным, так как кинетическая энергия неотрицательна.

Поскольку решения для свободных частиц имеют вид $e^{ikx}$ в $t=0$ , почему бы не попробовать

ψ (Икс) "=" \int_{- \infty}^{\infty} г к ф (к) е^{я к Икс}

$\psi(x)=\int_{-\infty}^{\infty}dk\phi(k) e^{ikx}$ т.е. найти

ψ (x)

$\psi(x)$ как волновой пакет и искать функцию

ϕ (k)

$\phi(k)$ такой, что

ψ (x) = δ (x)

$\psi(x)=\delta(x)$ ? Возможно, вы захотите вспомнить, что

\begin{aligned} дельта (Икс - {Икс}_{0}) "=" ⟨ Икс | {Икс}_{0} ⟩ & "=" \int_{- \infty}^{\infty} г к ⟨ Икс | к ⟩ ⟨ к | {Икс}_{0} ⟩, \\ "=" \int_{- \infty}^{\infty} г к \frac{1}{2 π} е^{я к (Икс - {Икс}_{0})} . \end{aligned}

$\begin{align} \delta(x-x_0)=\langle x\vert x_0\rangle &= \int_{-\infty}^{\infty} dk \langle x\vert k\rangle\langle k\vert x_0\rangle\, ,\\ &=\int_{-\infty}^\infty dk \frac{1}{2\pi}e^{ik(x-x_0)}\, . \end{align}$

Нормируемая волна свободных частиц на 1D

Высокий средний балл

вероятно_кто-то

Ответы (1)

ZeroTheHero

Почему ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} является действительной волновой функцией, поскольку она не является конечно интегрируемой на RR\Bbb R?

Явное решение нестационарного уравнения Шредингера для свободной частицы, которое начинается как дельта-функция

Почему волновая функция не равна 0 на пике дельта-потенциала Дирака, но равна 0 на границах бесконечной квадратной ямы?

Частица бесконечной ямы, подверженная дополнительной временной зависимости. потенциал

Текущая вероятность

Собственное состояние дельта-функции для ненулевого потенциала

Почему коэффициент отражения при квантово-механическом рассеянии определяется именно так?

Вероятность нахождения частицы в левом боку в момент времени ttt

Форма уравнения Шредингера для плотности вероятности

Отсутствие вероятности для реальных волновых уравнений