Путаница плотности тока вероятности

Question

Путаница плотности тока вероятности

IndischerPhysiker

Как мы все знаем, плотность тока вероятности в квантовой механике определяется как:

Дж "=" \frac{ℏ}{2 м я} (Ψ^{*} \nabla Ψ - Ψ \nabla Ψ^{*})

$\textbf{J}=\dfrac{\hbar}{2mi}(\Psi^* \nabla \Psi-\Psi \nabla \Psi^*)$ Для простоты давайте работать в одном измерении и предположим, что волновая функция

Ψ = A cos k x

$\Psi= A\ \text{cos}\ {kx}$ . Применяя приведенное выше определение и, таким образом, используя

Дж "=" \frac{ℏ}{2 м я} (Ψ^{*} \frac{\partial Ψ}{\partial Икс} - Ψ \frac{\partial Ψ^{*}}{\partial Икс}) мы получаем: Дж "=" 0

$J=\dfrac{\hbar}{2mi}\Big(\Psi^* \dfrac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi \dfrac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Big)\quad\quad \text{we get:}\quad\quad J=0$ Используя уравнение неразрывности, это означает, что:

\frac{\partial р}{\partial т} "=" 0,

$\dfrac{\partial \rho}{\partial t}=0,$ что после решения дает нам:

ρ = f (x)

$\rho=f(x)$ . Таким образом, плотность вероятности в любой точке не зависит от времени. Теперь этот результат будет следовать, даже если мы возьмем

Ψ = A cos (k x - ω t)

$\Psi= A\ \text{cos}\ {(kx-\omega t)}$ . Но здесь мы ясно видим, что плотность вероятности, т.е.

| Ψ |^{2} "=" | А |^{2} {потому что}^{2} (к Икс - ю т)

$|\Psi|^2=|A|^2\ \text{cos}^2\ {(kx-\omega t)}$ зависит от времени. Это

A

$A$ который несет зависимость от времени и отвечает за это кажущееся несоответствие?

Ответы (3)

Путаница плотности тока вероятности

Фредерик Томас · Answer 1

Решение свободного одномерного уравнения Шредингера:

я ℏ \frac{\partial ψ}{\partial т} "=" - \frac{ℏ^{2}}{2 м} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial {Икс}^{2}} (1)

$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}\,\,\,\quad \text{(1)}$

является:

ψ "=" А е^{я (к Икс - ю т)} (2)

$\psi = A e^{i(kx -\omega t)} \quad\quad\quad \text{(2)}$

где $\omega$ выполняет условие $\hbar \omega = \frac{(\hbar k)^2}{2m}$ .

Если предварительно попытаться построить $\cos$ -решение можно было бы написать

ψ "=" \frac{А}{2} е^{я (к Икс - ю т)} + \frac{А}{2} е^{- я (к Икс - ю т)} "=" А потому что (к Икс - ю т)

$\psi = \frac{A}{2} e^{i(kx -\omega t)} + \frac{A}{2} e^{-i(kx -\omega t)} = A \cos (kx -\omega t)$

После проверки, если

ψ "=" А е^{- я (к Икс - ю т)}

$\psi = A e^{-i(kx -\omega t)}$ решает уравнение Шредингера, можно найти решение только в том случае, если выполняется следующее условие:

Е "=" ℏ ю "=" - \frac{(ℏ к)^{2}}{2 м}

$E = \hbar \omega = -\frac{(\hbar k)^2}{2m}$

Однако решения с отрицательной энергией не допускаются в нерелятивистской теории, поэтому это решение должно быть отброшено, а следовательно, и $\cos$ - решение также должно быть отброшено. Это можно, конечно, проверить непосредственно, вставив $\cos (kx-\omega t)$ в свободном уравнении Шредингера (1); это не решение. Поэтому нельзя ожидать, что он удовлетворяет уравнению непрерывности.

Таким образом, единственными разумными решениями в этом контексте являются либо (2), либо

ψ (Икс) "=" потому что (к Икс) (3)

$\psi(x) = \cos(kx)\quad\quad\quad \text{(3)}$

для уравнения Шредингера, не зависящего от свободного времени

\frac{\partial^{2} ψ}{\partial {Икс}^{2}} + \frac{2 м}{ℏ^{2}} Е "=" 0

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} +\frac{2m}{\hbar^2}E =0$

с условием $\frac{(\hbar k)^2}{2m} =E$ .

Оба решения (2) и (3) удовлетворяют уравнению неразрывности, даже если в случае (3) оно оказывается совсем неинтересным.

Решение (3), конечно, можно улучшить до зависящего от времени решения, выбрав

ψ (Икс, т) "=" е^{- я ю т} потому что (к Икс)

$\psi(x,t) = e^{-i\omega t} \cos(kx)$

Конечно, соответствующие суперпозиции (2) или (3) также были бы решениями, но используя правильный знак $i$ в случае решений, зависящих от времени.

РЕДАКТИРОВАТЬ В случае зависящего от времени решения (2) ток вероятности $J$ отличен от нуля, но его градиент равен нулю, поэтому даже если $\dot{\rho}=0$

\dot{р} + \nabla Дж "=" 0

$\dot{\rho} + \nabla J =0$

выполняется.

my2cts · Answer 2

my2cts

Соотношение непрерывности выполняется для решений уравнения Шрёдингера. $A\cos (\omega t - k x)$ не является решением.

пользователь 245141

Я не думаю, что это правда.

ψ = A \cos (k x - ω t)

$\psi = A \cos(kx-\omega t)$ является суперпозицией двух собственных функций гамильтониана

H = v p

$H=v p$ - один с импульсами

k

$k$ а другой с

- k

$-k$ . Это можно дополнительно формализовать, потребовав периодических граничных условий на конечной длине

L

$L$ , так что даже вопрос нормализации здесь не актуален.

после бритья

Это очевидно верно, просто попробуйте подставить эту функцию в зависящее от времени уравнение Шредингера.

пользователь 245141

@После бритья, если

H = - i v \partial_{x}

$H = -iv \partial_x$ , затем

H ψ = i v k A \sin (k x - ω t)

$H \psi = iv k A \sin(kx-\omega t)$ ,

i d ψ / d t = i ω A \sin (k x - ω t)

$i d\psi/dt = i \omega A \sin(kx-\omega t)$ которые равны, пока

ω = v k

$\omega = vk$ так

H ψ = i d ψ / d t

$H\psi = i d\psi/dt$ что мне не хватает?

после бритья

Гамильтониан в базисе положения равен

- \frac{ℏ^{2}}{2 м} \partial_{Икс}^{2}

$-\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2$

пользователь 245141

@AfterShave нет, это всего лишь один пример гамильтониана в базисе положения. Написанный мной гамильтониан полностью действителен). Я не знаком ни с чем, что ограничивало бы ток вероятности формой гамильтониана, которую вы написали.

после бритья

Выражение для плотности тока вероятности справедливо только для гамильтониана, который я дал, ваш гамильтониан даст другое выражение. На самом деле я бы вообще не назвал его гамильтонианом, поскольку он не имеет ограниченных энергий. Подчеркну еще раз, выражение для локально сохраняющейся плотности тока вероятности зависит от гамильтониана.

пользователь 245141

@AfterShave о. Я понимаю. ты прав. Эта форма тока вероятности действительно справедлива только для гамильтониана с действительным потенциалом и свободной частью, которая

p^{2}

$p^2$ , Спасибо.

Дж. Г. · Answer 3

Здесь есть несколько вопросов для обсуждения.

С $\nabla\cdot J=\frac{\hbar}{2mi}(\Psi^\ast\nabla^2\Psi-\Psi\nabla^2\Psi^\ast)$ , решение TDSE удовлетворяет

\nabla^{2} Ψ "=" \frac{2 м}{ℏ^{2}} (В Ψ - я ℏ \partial_{т} Ψ) ⟹ - \nabla \cdot Дж "=" Ψ^{*} \partial_{т} Ψ + Ψ \partial_{т} Ψ^{*} "=" \partial_{т} р, р "=" Ψ^{*} Ψ .

$\nabla^2\Psi=\frac{2m}{\hbar^2}(V\Psi-i\hbar\partial_t\Psi)\implies-\nabla\cdot J=\Psi^\ast\partial_t\Psi+\Psi\partial_t\Psi^\ast=\partial_t\rho,\,\rho:=\Psi^\ast\Psi.$ Выбор

V

$V$ для которого

Ψ := \cos (k x - ω t)

$\Psi:=\cos(kx-\omega t)$ решает TDSE подразумевает

\partial_{t} \cos^{2} (k x - ω t) = 0

$\partial_t\cos^2(kx-\omega t)=0$ , что явно неверно, если только

ω = 0

$\omega=0$ . Если

ω \neq 0

$\omega\ne0$ ,

В "=" \frac{ℏ^{2}}{2 м} \frac{\nabla^{2} Ψ}{Ψ} + я ℏ \frac{\partial_{т} Ψ}{Ψ} "=" - \frac{ℏ^{2} к^{2}}{2 м} + я ℏ ю загар (к Икс - ю т)

$V=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\nabla^2\Psi}{\Psi}+i\hbar\frac{\partial_t\Psi}{\Psi}=-\frac{\hbar^2k^2}{2m}+i\hbar\omega\tan(kx-\omega t)$ представляет собой зависящий от времени потенциал без основного состояния.

Более того, этот выбор $\rho$ не интегрируется в $1$ на $\Bbb R$ . Даже если мы попробуем что-то вроде частицы в конечном ящике, чтобы обойти это, ваш выбор $\rho$ является безразмерным, поэтому не будет интегрироваться в безразмерное значение $1$ над областью конечной размерной длины. Хотя мы часто видим $\cos(kx-\omega t)$ , $\sin(kx-\omega t)$ или $\exp i(kx-\omega t)$ в физике, на практике есть общий фактор, чтобы получить правильные единицы измерения.

А в квантовой механике мы ожидаем $\Psi$ вообще быть комплекснозначным. Итак, давайте теперь рассмотрим другой вариант, $\Psi=A\exp i(kx-\omega t)$ , где без ограничения общности наша постоянная $A$ можно считать положительной, а не какой-либо другой фазы. А сейчас

В "=" - \frac{ℏ^{2} к^{2}}{2 м} + ℏ ю, р "=" А^{2}, \partial_{т} р "=" 0.

$V=-\frac{\hbar^2k^2}{2m}+\hbar\omega,\,\rho=A^2,\,\partial_t\rho=0.$ Опять же, есть проблема нормализации, которая требует либо стен с бесконечным потенциалом (или

x

$x$ для измерения пространства по окружности, но давайте проигнорируем такие вещи, как квантовая механика на торе). Обратите внимание, что частица в собственных функциях хейлтониана ящика обычно указывается как синус или косинус с точки зрения

x

$x$ один, не

t

$t$ ; но если мы хотим конкретизировать их зависимость от времени, мы умножаем на общее

e^{- i ω t}

$e^{-i\omega t}$ фактор, который дает поведение в отличие от всего, что обсуждалось выше. В частности, этот фактор не имеет значения для

ρ

$\rho$ , который, как и хотелось бы, не зависит от времени.

Путаница плотности тока вероятности

IndischerPhysiker

Ответы (3)

Фредерик Томас

my2cts

пользователь 245141

после бритья

пользователь 245141

после бритья

пользователь 245141

после бритья

пользователь 245141

Дж. Г.

Текущая вероятность

Почему ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} является действительной волновой функцией, поскольку она не является конечно интегрируемой на RR\Bbb R?

Что такое уравнение непрерывности в QM?

Мнимый потенциал и стационарная волновая функция

Почему коэффициент отражения при квантово-механическом рассеянии определяется именно так?

Вероятность нахождения частицы в левом боку в момент времени ttt

Форма уравнения Шредингера для плотности вероятности

Отсутствие вероятности для реальных волновых уравнений

Плотность вероятности свободной частицы

Нормируемая волна свободных частиц на 1D