Почему AdS/CFT с ненулевой температурой соответствует черной дыре в объеме?

На этот вопрос есть несколько ответов. Тот, который имеет наиболее интуитивный смысл, вероятно, зависит от вашего прошлого.

Прежде всего, из евклидовой программы квантовой гравитации известно, что стационарное или статическое пространство-время может быть помещено в конечную температуру путем аналитического продолжения пространства-времени до евклидовой сигнатуры. Затем температура идентифицируется как обратная длина повернутого направления времени, которая теперь называется тепловым кругом. Этот подход известен из изучения теорий поля при конечной температуре и был разработан для случая гравитации Хокингом и другими в конце 1970-х — начале 1980-х годов. Пространство-время без каких-либо горизонтов черных дыр, такое как пространство Минковского, может иметь любую температуру. Как только аналитическое продолжение выполнено, тепловой круг можно компактифицировать до любого радиуса.

Черные дыры, однако, могут быть аналитически продолжены только для того, чтобы иметь определенную длину теплового круга. Эта длина выбрана так, чтобы избежать конического дефицита (типа сингулярности) в пространстве-времени. Например, евклидов Шварцшильд (с$\tau = i t$)

$ds^2 = \left(1-\frac{r_0}{r}\right) d\tau^2 + \left(1-\frac{r_0}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega_2^2.$

На горизонте это выглядит так

$ds^2 \approx \left(\frac{r-r_0}{r_0}\right) d\tau^2 + \frac{r_0}{r-r_0} dr^2 + r_0^2 d\Omega_2^2 \approx \rho^2 \frac{d\tau^2}{4r_0^2} + d\rho^2 + r_0^2 d\Omega_2^2$, после настройки$r=r_0 + \rho^2/(4r_0^2)$.

Для того, чтобы$(\tau,\rho)$-часть пространства локально плоское пространство, записанное в полярных координатах, периодичность$\tau \sim \tau + 4\pi r_0$нам навязывают. Это просто обратная температура Хокинга.

Итак, если теория поля при конечной температуре должна быть двойственной геометрии, она может быть дуальной и без горизонта, и с горизонтом. Вопрос о том, какой из них является истинным дуалом, определяется термодинамикой. Как правило, нужно было бы взять все решения и сравнить их свободную энергию. Возможны интересные фазовые переходы, например переход Хокинга-Пейджа ( http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103922135 ). В случае черных дыр в пятне Пуанкаре AdS, обычной отправной точке для AdS/CFT, такого перехода нет, и черная брана всегда термодинамически предпочтительнее теплового AdS.

Второй способ увидеть, что конечная температура соответствует черным дырам в объеме, — вспомнить соответствие черной дыры и черной струны ( http://arxiv.org/abs/hep-th/9612146 ). Еще до AdS/CFT было известно, что существует сильная связь между p-бранными решениями супергравитации и D-бранами теории струн. Оба раствора можно нагревать. В режиме параметров, когда каждое решение имеет смысл, нагретые p-браны (для$p=3$) соответствуют пятнам Пуанкаре AdS черным дырам (при достаточно малой температуре). Нагретые D-браны как раз соответствуют SYM при конечной температуре. Таким образом, с этой точки зрения конечное температурное расширение исходной дуальности Малдасены становится довольно очевидным.

Наконец, роль температуры и химического потенциала (и любых других возможных термодинамических потенциалов) в черной дыре просто соответствует тем же самым потенциалам в теории двойного поля. Например, вращение в черной дыре соответствует рассмотрению теории вращающегося поля ( http://arxiv.org/abs/hep-th/9908109 ).

Объяснение Surgical Commander о наложении периодических граничных условий в евклидовом времени очень хорошее и в некотором смысле самый правильный способ увидеть, что вы должны получить. Я добавлю здесь еще один способ, которым вы можете думать об этом, более физически и динамично, для другой точки зрения.

Вы можете думать о конечной температуре как о том, что ваша система слабо соприкасается с какой-то огромной ванной энергии и позволяет ей уравновешиваться (слабо, чтобы вы не слишком сильно влияли на физику вашей системы, вы просто позволяли ей медленно обмениваться энергией) . Вы также можете позволить ему обмениваться некоторым сохраняющимся зарядом, если вам нужен большой канонический ансамбль с химическими потенциалами. В AdS/CFT это сводится к некоторой связи между граничными условиями ваших полей (операторы AKA CFT) и термостатом. Вы можете думать об этом как о том, что позволяете энергии выходить и входить через границу.

Начните с пустой AdS с компактной границей. Если тепловая баня горячая, энергия начнет вливаться в объем из граничной связи, и энергия любых полей, которые у вас есть, начнет плескаться вокруг. В какой-то момент, при достаточном количестве энергии, где-то она станет достаточно плотной, чтобы образовать черную дыру. Черная дыра будет излучать Хокинга. Если излучение Хокинга имеет ту же температуру, что и нагревательная ванна, не будет никакого чистого обмена энергией с ванной, и излучение Хокинга будет находиться в равновесии с черной дырой.

Если излучение Хокинга холоднее, чем тепловая ванна, в черную дыру все равно будет поступать вещество быстрее, чем оно излучает, поэтому черная дыра будет расти. В конце концов, черная дыра достигнет той же температуры, что и ванна, и уравновесится.

Если излучение Хокинга горячее, чем тепловая ванна, оно будет просачиваться наружу, и черная дыра будет сжиматься по мере своего излучения. Если он достаточно большой, то при этом остывает, поэтому в какой-то момент может прийти в равновесие с ванной. Если она слишком мала (или ванна слишком холодная, чтобы уравновеситься даже с самой холодной из возможных черных дыр), она имеет отрицательную теплоемкость, поэтому будет нагреваться по мере потери энергии (!), и в конечном итоге испарится. Тогда ванна может уравновеситься только с излучением и без черной дыры, если она достаточно прохладная. (Энергия излучения в классическом пределе равна нулю, будучи подавленной некоторой степенью планковской длины по длине AdS).

Есть некоторые обстоятельства, при которых черная дыра может быть полуклассически динамически стабильной, но термодинамически неблагоприятной, поэтому она испарится в результате туннелирования.

Вы можете добавить более богатое поведение, добавив химический потенциал, как вы предлагаете, а также позволив заряду входить и выходить. Вы все еще можете интуитивно понять большинство вещей из такого рода динамической картины, добавляя более интересную физику по мере необходимости. Например, черная дыра должна быть заряжена, чтобы поддерживать электрическое поле, чтобы заряженное вещество не хотело проникать через границу. Но если это поле должно быть слишком сильным, на горизонте может возникнуть рождение швингеровских пар, и черная дыра начнет выбрасывать заряженные частицы, которые болтаются в объеме в виде заряженных «волос».