Заряженные черные дыры и AdS/CFT

Я также новичок в этом вопросе, но я постараюсь поделиться тем, что я узнал до сих пор, если вы еще не нашли ответы. Во-первых, поскольку мы хотим ввести в объем заряженную черную дыру ($Reissner$-$Nordstr\ddot{o}m$-$AdS$черная дыра), она будет двойственна теории поля при конечных температуре и плотности заряда со статистической суммой большого канонического ансамбля:

$$\mathcal{Z}=tr\Big[\exp \Big(-\beta \,(\hat{H}-\sum\limits_{i}{{{\mu }_{i}}{{{\hat{Q}}}_{i}}})\Big)\Big]$$ где $\beta$обратная температура и ${\mu}_{i}$химические потенциалы, связанные с зарядами ${\hat{Q}}_{i}$которые сами по себе являются нётеровскими зарядами, связанными с сохраняющимися токами $J_{(i)}^{\nu }$под глобальным $U(1)$симметрия. Для $\mathcal{N}=4\,$SYM эти токи сохраняются при $U(1)$подгруппа глобального $SO(6)$R-симметрия [1][2].

Теперь для простоты сначала рассмотрим чистый$Ad{{S}_{5}}$с ненулевым электрическим локальным калибровочным полем${{A}_{0}}(z)$, где индекс относится к его временной составляющей. Решение уравнений движения даст асимптотическое решение вида:

$${{A}_{0}}\simeq A_{0}^{(0)}(1+A_{0}^{(1)}{{z}^{2}}) \quad as \quad z\to0$$ По словарю AdS/CFT, поскольку статистическая сумма теории поля будет иметь дополнительный исходный член вида $\int{{{d}^{4}}x}\,{{J}^{\mu}}{{A}_{\mu}}$, поэтому граничное значение объемного калибровочного поля (т.е. $A_{0}^{(0)}$) будет источником (т.е. химическим потенциалом), сопряженным с сохраняющейся плотностью заряда $J^0$[3].

Теперь, принимая во внимание приведенные выше рассуждения, в случае$Reissner$-$Nordstr\ddot{o}m$-$AdS$BH мы будем иметь следующий вид для объемного калибровочного поля:

$${{A}_{0}}\propto Q\,(z_{h}^{d-2}-{{z}^{d-2}})\quad for \quad d\ge 3$$ где $z_{h}$это положение горизонта событий, полученное $f(z_{h})=0$. Вы можете найти явную форму $f(z)$в [4]. Теперь вспомним, что химический потенциал является граничным значением калибровочного поля, поэтому мы будем иметь: $$\mu =\frac{1}{L}\underset{z\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{A}_{0}}(z)$$ где $\frac{1}{L}$вводится для того, чтобы гарантировать, что $\mu$имеет правильную размерность энергии в граничной теории. Для вашего третьего вопроса, вычислив температуру Хокинга (T), отношение $\frac{\mu}{T}$даст нам хороший переход от нулевого заряда, где $\frac{\mu}{T}=0$к экстремальному случаю, когда $\frac{\mu}{T} \to \infty$для фиксированного $z_{h}$. Вы можете найти его явный вид и параметры, от которых он зависит, с некоторыми хорошими обсуждениями в [4]. Я надеюсь, что этот ответ будет полезен.

[1] J. Kapusta, et al., Phys. D 28, 3093 (1983)
[2] H. Nastase, Introduction to the AdS/CFT Correspondence, CUP, 2015 [
3] M. Natsuume, AdS/CFT Duality User Guide, Springer, 2015
[4] D. Galante , М. Швеллингер, JHEP 1207 (2012) 096, https://arxiv.org/abs/1205.1548 (2012)