Почему диполь должен иметь нулевой суммарный заряд?

Понятие дипольного момента и других моментов, таких как монополь, квадруполь и т. д., исходит из процесса записи поля в виде суммы компонентов, называемых мультиполями . Это известно как мультипольное расширение поля. Причина, по которой мы делаем это, заключается в том, что это может сделать вычисления быстрее и проще, потому что это позволяет нам аппроксимировать сложное поле более простой суммой мультиполей.

Один изолированный точечный заряд создает поле, которое является чисто монопольным полем, а два равных и противоположных заряда создают поле, которое приблизительно является дипольным полем (это именно диполь только в пределе, когда расстояние между зарядами становится равным нулю). Таким образом, если вы добавите один заряд к паре равных и противоположных зарядов, вы получите общее поле, которое представляет собой сумму полей монополя и диполя.

И это то, что происходит в примере, который вы приводите. Предположим, у нас есть два заряда.$+2Q$и$-Q$, то это эквивалентно одному заряду$+Q$и пара зарядов$+\tfrac32 Q$и$-\tfrac32Q$. Поле от зарядов было бы векторной суммой монопольного поля от$+Q$заряд и дипольное поле от$\pm\tfrac32Q$пара.

Таким образом, причина, по которой диполь не может иметь два неравных заряда, заключается просто в том, что такое расположение будет суммой монополя и диполя, а не просто диполем.

Если у нас есть несколько распределенных в пространстве зарядов, то общий потенциал равен

$$\phi = k\sum_{n = 1}^{N} \frac{q_{n}}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{n}\right|}$$

Если заряды сосредоточены в узкой области пространства (узкой по сравнению с расстоянием до наблюдателя и, при наличии ЭМ волн, с длиной волны), то дробь можно разложить линейно, задав$r_{n} = r_{0} + \Delta_{n}$:

$$\frac{1}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{n}\right|} = \frac{1}{\sqrt{(\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0} - \mathrm{\Delta}_{n})^2}} \approx \frac{1}{\sqrt{(\mathrm{r} - \mathrm{r}_0)^2 - 2 (\mathrm{r} - \mathrm{r}_0) \cdot \mathrm{\Delta}_{n}}} \approx \\ \frac{1}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|} \frac{1}{1 - \frac{(\mathrm{r} - \mathrm{r}_0) \cdot \mathrm{\Delta}_{n}}{(\mathrm{r} - \mathrm{r}_0)^2}} \approx \frac{1}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|} + \frac{1}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|^2}\frac{\left(\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right)}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|} \cdot \mathrm{\Delta}_{n}$$

В первом приближении я пренебрег квадратичным членом$\Delta$, для второго я использовал ряд Тейлора для квадратного корня, для третьего я расширил дробь в ряд Тейлора.

Подставив его в уравнение для потенциала, получим

$$\phi \approx \frac{k}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|}\sum_{n = 1}^{N} q_{n} + \frac{k}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|^2}\frac{\left(\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right)}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|} \cdot \sum_{n = 1}^{N} q_{n} \mathrm{\Delta}_{n} = \frac{k Q }{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|} + \frac{k}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|^2}\frac{\left(\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right)}{\left|\mathrm{r} - \mathrm{r}_{0}\right|} \cdot \mathrm{d}$$

Здесь$Q$это общий заряд, а$d$- дипольный момент. Как видите, первый член затухает как$1/r$а второй как$1/r^2$. Если присутствует первый (т.$Q\ne0$), то вторым членом обычно можно пренебречь, когда мы находимся далеко от системы зарядов.