Электрическое поле на сферической оболочке с вырезанным диском

Question

Электрическое поле на сферической оболочке с вырезанным диском

Шреяс Б.

Я столкнулся с этой проблемой в «Электричестве и магнетизме» Э. М. Перселла:

Сферическая оболочка радиуса $a$ заряжен с однородной поверхностной плотностью заряда $\sigma$ . Небольшое отверстие радиуса $b << a$ вырезается (фактически диск радиусом $b$ ). Чему равно электрическое поле в центре отверстия?

Интуитивно направление поля должно быть радиально наружу, хотя мне трудно его найти. Я подумал о том, чтобы снова подключить диск, чтобы получить поле $\displaystyle\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{4\pi a^2\sigma}{a^2} \hat{\rho} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}\hat{\rho}$ , а затем пытается «удалить» поле из-за диска, но это, похоже, не работает. Любые предложения (ответ $\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat{\rho}$ )?

Филип

Прошло некоторое время с тех пор, как я занимался электростатикой, поэтому извиняюсь, если что не так. Но вот моя идея (которая очень похожа на ваше предложение и, кажется, дает правильный ответ). Рассмотрим следующие дополнительные задачи: сферическая оболочка радиуса

a

$a$ и плотность заряда

σ

$\sigma$ (без отверстия) и небольшой круглый диск радиусом

b

$b$ и плотность заряда

- σ

$-\sigma$ , затем оцените электрические поля индивидуально. Что произойдет, если диск будет помещен на оболочку?

Ответы (1)

Электрическое поле на сферической оболочке с вырезанным диском

Прошло некоторое время с тех пор, как я занимался электростатикой, поэтому извиняюсь, если что не так. Но вот моя идея (которая очень похожа на ваше предложение и, кажется, дает правильный ответ). Рассмотрим следующие дополнительные задачи: сферическая оболочка радиуса $a$ и плотность заряда $\sigma$ (без отверстия) и небольшой круглый диск радиусом $b$ и плотность заряда $-\sigma$ , затем оцените электрические поля индивидуально. Что произойдет, если диск будет помещен на оболочку?

ZeroTheHero · Answer 1

ZeroTheHero

Я думаю, вы на правильном пути. Идея состоит в том, чтобы рассмотреть поле полной непроколотой сферы с поверхностной плотностью заряда. $\sigma$ и "добавить" немного пятачка поверхностной плотности заряда $-\sigma$ . По суперпозиции пятно и полная сфера эквивалентны сфере с маленькой дыркой в ней.

Вы правы, что поле прямо у поверхности для непроколотой сферы равно $E=\sigma/\epsilon_0$ . Уловка, которую я считаю, заключается в том, что для точки, очень близкой к поверхности, пятно можно рассматривать как бесконечную пластину с поверхностным зарядом. $-\sigma$ . Это возможно на том же основании, что и пластину считают бесконечной, если точка, в которой мы хотим создать поле, намного ближе к пластине, чем любой из физических размеров пластины. Здесь это кажется оправданным, поскольку вы находитесь в центре «тарелки» и сколь угодно близко к ней. Поле такой пластины равно $-\sigma/2\epsilon_0$ таким образом, чистое поле в центре равно

\frac{о}{ϵ_{0}} - \frac{о}{2 ϵ_{0}} "=" \frac{о}{2 ϵ_{0}}

$\frac{\sigma}{\epsilon_0}-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$

Шреяс Б.

Спасибо - повторюсь, поскольку расстояние от пластины «бесконечно мало», можно использовать закон Гаусса для вычисления электрического поля, создаваемого диском, как:

\oint E \cdot d \vec{A} = \frac{\sum Q}{ϵ_{0}} \Rightarrow (E) (2 π r^{2}) = \frac{π r^{2} (- σ)}{ϵ_{0}} \Rightarrow E = \frac{- σ}{2 ϵ_{0}}

$\oint E \cdot \, d\vec{A} = \frac{\sum Q}{\epsilon_0} \Rightarrow (E)(2\pi r^2) = \frac{\pi r^2 (-\sigma)}{\epsilon_0} \Rightarrow E = \frac{-\sigma}{2\epsilon_0}$ , так что сумма просто

\frac{σ}{ϵ_{0}} - \frac{σ}{2 ϵ_{0}} = \frac{σ}{2 ϵ_{0}}

$\frac{\sigma}{\epsilon_0} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ ?

ZeroTheHero

Первый ключевой момент заключается в том, что для расчета эффекта прокола маленькое отверстие считается очень маленьким. Второй ключевой момент заключается в том, что для вычисления поля в центре этого очень маленького диска маленький диск вполне может быть бесконечным по протяженности, поскольку имеет значение отношение расстояния до этого диска к радиусу диска, т. е. величина что пойдет на

0

$0$ для любого

b \neq 0

$b\ne 0$ . В остальном, да, это просто закон Гаусса согласно вашему комментарию.

Шреяс Б.

Чего я не понимаю, так это того, что потенциал в центре диска радиусом

a

$a$ можно вычислить, рассматривая концентрические кольца шириной

d r

$dr$ и радиус

r

$r$ . С

d ϕ = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{σ d x d r}{r}

$\displaystyle d\phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\sigma\, dx\, dr}{r}$ , где

x

$x$ представляет

ϕ

$\phi$ для всех фигур на кольце радиуса

r

$r$ , мы можем дважды интегрировать, чтобы получить это

ϕ = 0

$\phi = 0$ в центре диска. Если

\vec{E} = - \nabla ϕ

$\displaystyle\vec{E} = -\nabla\phi$ , что подразумевает

\vec{E} = 0

$\vec{E} = 0$ . Что здесь не так?

ZeroTheHero

Я не уверен, что использование потенциала продуктивно, поскольку геометрия затрудняет вычисления.

ϕ

$\phi$ в любом месте, кроме оси симметрии пластины. Этого недостаточно для вычисления градиента, так как в принципе потенциал может иметь ненулевое значение.

\partial / \partial r

$\partial/\partial r$ .

Филип

На самом деле, причина, по которой я не написал ответ на это, заключается в том, что есть что-то в том, что @ShreyasB. говорит, что я не мог ясно объяснить. Я считаю, что поле в центре заряженного диска равно нулю. Возьмем, к примеру, этот ответ , который показывает, что

E = σ / 2 ϵ_{0}

$E = \sigma/2\epsilon_0$ работает только для

z > 0

$z>0$ . Прямо в центре

z = 0

$z=0$ , все взносы аннулируются и дают вам

E = 0

$E=0$ . Решение, я думаю, состоит в том, что бесконечно тонкий лист сам по себе совершенно нереален, и поэтому вы можете просто считать себя бесконечно близким к нему.

Электрическое поле на сферической оболочке с вырезанным диском

Шреяс Б.

Филип

Ответы (1)

ZeroTheHero

Шреяс Б.

ZeroTheHero

Шреяс Б.

ZeroTheHero

Филип

Потенциал из-за заряженного кольца: разрыв электрического поля

Поле цилиндра с поверхностной плотностью заряда σ=σ0cos(θ)σ=σ0cos⁡(θ)\sigma= \sigma_0 \cos(\theta)

«Электростатическое поле цепи» Что это значит?

Электрический диполь, ошибка в расчете

Почему электрическое поле можно найти методами электростатики, если заряд движется?

Электрическое поле из-за заряженной сферы

Электрическое поле в сфере с просверленным в ней цилиндрическим отверстием

Электрическое поле внутри пустой полости толстой сферической металлической оболочки, находящейся под действием горизонтального внешнего электрического поля

Поле в центре куба с положительно и отрицательно заряженными гранями [дубликат]

Выполняется ли закон Кулона, пока ρ˙=0ρ˙=0\dot{\rho} = 0?