Почему ЭМ плоские волны поперечны?

Question

Почему ЭМ плоские волны поперечны?

пользователь1236

Я читал «Введение в электродинамику» Гриффитса , в частности раздел 9.2.2 о плоских волнах. Я вижу, что если мы хотим, чтобы поперечная волна двигалась в $z$ направление, которое мы только хотим, чтобы наши волны имели $x$ и $y$ компонентов, но рассуждения Гриффитса меня смутили.

Начнем с волн электрического и магнитного поля вида

\begin{aligned} Е (г, т) & "=" Е_{0} е^{я (к г - ю т)} \\ Б (г, т) & "=" Б_{0} е^{я (к г - ю т)} \end{aligned}

$\begin{align} E(z,t) & = E_{0}e^{i(kz-\omega t)} \\ B(z,t) & = B_{0}e^{i(kz-\omega t)} \end{align}$

Так как мы находимся в свободном пространстве, у нас есть, что $\nabla \cdot E = \nabla \cdot B = 0$ .

Теперь наступает решающий шаг: Гриффитс утверждает, что эти два факта сразу же подразумевают, что

(Е_{0})_{г} "=" (Б_{0})_{г} "=" 0

$(E_{0})_{z} = (B_{0})_{z} = 0$

Я не был уверен, как это последовало. Я знаю, что если я хочу, чтобы мои волны были плоскими, мне нужно, чтобы производные полей по x и y были равны 0, чтобы у меня была постоянная величина на фронте с постоянной фазой, но я не был уверен, как увидеть эта производная по z также должна быть равна нулю. Кажется, что если бы у вас была плоская волна электрического поля, действительная часть которой изменялась бы в пространстве как функция синуса, то, если бы вы посмотрели на ее производную по оси z, вы бы получили функцию косинуса.

Марк К. Коуэн

ЭМ волны могут иметь продольные компоненты, если мы избегаем приближения плоских волн. См. MJ Cliffe, S Jamison для получения дополнительной информации.

Qмеханик

Связано: physics.stackexchange.com/q/103171/2451 и ссылки в нем.

Селена Рутли

Ответ Альфреда Центавра на вопрос, связанный с Qmechanic, особенно лаконичен.

Ответы (3)

Почему ЭМ плоские волны поперечны?

ЭМ волны могут иметь продольные компоненты, если мы избегаем приближения плоских волн. См. MJ Cliffe, S Jamison для получения дополнительной информации.
Связано: physics.stackexchange.com/q/103171/2451 и ссылки в нем.
Ответ Альфреда Центавра на вопрос, связанный с Qmechanic, особенно лаконичен.

Дану · Answer 1

Давайте рассмотрим несколько более общий случай: рассмотрим волну с волновым вектором $\vec k=(k_x,k_y,k_z)$ , с электрическим полем, заданным выражением

\vec{Е} "=" {\vec{Е}}_{0} е^{я (\vec{к} \cdot \vec{р} - ю т)}

$\vec E=\vec E_0\ e^{i(\vec k \cdot \vec r-\omega t)}$ где

\vec{r} = (x, y, z)

$\vec r=(x,y,z)$ . Теперь мы хотим удовлетворить уравнениям Максвелла в вакууме, включая закон Гаусса:

\vec{\nabla} \cdot \vec{Е} "=" 0

$\vec \nabla \cdot \vec E=0$ Производная довольно легко вычисляется явно

\vec{\nabla} \cdot \vec{Е} "=" \vec{\nabla} \cdot ({\vec{Е}}_{0} е^{я (\vec{к} \cdot \vec{р} - ю т)}) "=" я \vec{к} \cdot {\vec{Е}}_{0} е^{я (\vec{к} \cdot \vec{р} - ю т)}

$\vec \nabla\cdot \vec E=\vec \nabla \cdot \bigl(\vec E_0\ e^{i(\vec k \cdot \vec r-\omega t)}\bigr)=i\vec k \cdot \vec E_0 e^{i(\vec k \cdot \vec r -\omega t)}$

Чтобы удовлетворить закону Гаусса, мы должны ввести:

\vec{к} \cdot {\vec{Е}}_{0} "=" ?

$\vec k \cdot \vec E_0=\ \text{?}$

Физически это означает, что направление распространения всегда $\dots$ к электрическому полю. Точно такой же аргумент применим к $\vec B$ -поле.

Я оставляю читателю в качестве упражнения убедить себя в том, что первоначально поставленный вопрос эквивалентен, т. е. что мы можем без ограничения общности предположить, что $\vec k = (0,0,k_z)$ , что привело к выводу, к которому пришел Гриффитс.

Красный акт · Answer 2

В этом ответе я начну с реального выражения для $E$ , потому что я думаю, что экспозиция яснее. При этом не происходит потери общности, потому что действительное выражение всегда будет эквивалентно действительной части комплексной версии $E$ , для некоторого подходящего выбора начала координат. Таким образом, моя отправная точка

Е (г, т) "=" Е_{0} с я н (к г - ю т) .

$E(z,t)=E_0\ sin(k z-\omega t)\ .$

С $E$ не зависит от $x$ или $y$ , четко $\partial E/\partial x=0$ и $\partial E/\partial y=0$ , так что единственный способ, чтобы условие $\nabla \cdot E=0$ всегда можно удержать, если $\partial E_z/\partial z=0$ всегда выполняется, т. е.

0 "=" \frac{\partial Е_{г}}{\partial г} "=" (Е_{0})_{г} к потому что (к г - ю т) .

$0=\frac{\partial E_z}{\partial z}=(E_0)_z\ k \cos(k z-\omega t)\ .$

Единственный способ, чтобы это уравнение выполнялось для всех $z$ и все $t$ это если либо $(E_0)_z=0$ , или $k=0$ . Если $(E_0)_z=0$ , это нужно было доказать, так что мы закончим. Альтернатива $k=0$ Значит это $E$ можно выразить как

Е "=" Е_{0} грех (- ю т) .

$E=E_0 \sin(-\omega t)\ .$

Учитывая, что ток не задействован, уравнение Ампера-Максвелла сводится к простому

\nabla \times Б "=" {мю}_{0} ϵ_{0} \frac{\partial Е}{\partial т} .

$\nabla \times B=\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}\ .$

Но

(\nabla \times Б)_{г} "=" \frac{\partial Б_{у}}{\partial Икс} - \frac{\partial Б_{Икс}}{\partial у} "=" 0,

$(\nabla \times B)_z=\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y}=0,$

Итак $z$ компонент уравнения Ампера-Максвелла означает, что

0 "=" \frac{\partial Е_{г}}{\partial т} "=" - (Е_{0})_{г} ю потому что (- ю т) .

$0=\frac{\partial E_z}{\partial t}=-(E_0)_z\ \omega \cos(-\omega t)\ .$

Единственный способ, которым это условие будет выполняться для всех $t$ это если либо $(E_0)_z=0$ , в этом случае мы закончили, или $\omega=0$ . Но если $\omega=0$ , значит просто

Е_{г} "=" (Е_{0})_{г}

$E_z=(E_0)_z$

для некоторой константы $(E_0)_z$ , т. е. ненулевое $(E_0)_z$ в лучшем случае наложит постоянное дополнительное поле на вершину волны. Кроме того, граничные условия были бы задачей с ненулевым $(E_0)_z$ , поскольку интегрирование $E$ вдоль $z$ оси приведет к сколь угодно большой разности электрических потенциалов. Таким образом, единственная физически разумная возможность $(E_0)_z=0$ .

Вывод $(B_0)_z=0$ почти то же самое, но с $E$ и $B$ транспонированы и с другим знаком или константой в паре мест.

РВ Берд · Answer 3

В радио- или телевизионной передающей антенне электроны колеблются взад и вперед. Это вводит поперечную составляющую в (ранее существовавшие) электрические поля, связанные с электронами. (Радиальные компоненты в значительной степени компенсируются полями от неподвижных протонов.) Электрический ток, связанный с движущимися электронами, также создает поперечное магнитное поле (обернутое вокруг провода). Уравнения Максвелла, примененные к взаимодействию этих двух полей, предсказывают скорость, с которой возмущение будет удаляться от антенны.

Почему ЭМ плоские волны поперечны?

пользователь1236

Марк К. Коуэн

Qмеханик

Селена Рутли

Ответы (3)

Дану

Красный акт

РВ Берд

Измеримы ли электромагнитные «плоские» волны или это просто виртуальное понятие?

Уравнения Максвелла для электромагнитной волны

Доказательство неортогональности E и H полей электромагнитной волны в некоторых материалах?

Вывод волнового уравнения для электромагнитных волн

Почему планеты не излучают электромагнитные волны на своих орбитах?

Заряженная сфера с пульсирующим радиусом

Испускает ли ускоряющий магнит излучение?

Путаница даже из-за такого простого применения правила правой руки для определения направления магнитного поля.

Сделайте полупрозрачное зеркало из меди.

Сила на Земле из-за радиационного давления Солнца